Hallo alle,

Finde ein Dreieck, das sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

Man erkennt sicher sehr schnell, dass sich das rechtwinklig-gleichschenklige Dreieck in zwei gleichschenklige zerlegen lässt.

Dies gilt auch für alle rechtwinkligen Dreiecke, wenn man den Schnitt durch den Mittelpunkt der Hypotenuse und den Scheitel des rechten Winkels führt (Satz des Thales).

Damit man überhaupt zwei Dreiecke erhält, muss der Schnitt durch einen Eckpunkt verlaufen. Wir tun mal so, als hätten wir eine Zerlegung des Dreiecks ABC gefunden (B liegt auf dem Strahl AX).

An dieser Skizze ist zu sehen, dass die entstehenden Dreiecke nicht beide spitzwinklig sein können. Sie können allerdings beide rechtwinklig sein, dann haben wir den Fall des „Geodreiecks“.

Finde ein Dreieck, das sich nicht in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt.

Nehmen wir an, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. Das Dreieck ABX enthält also einen 60°-Winkel (bei A) und einen Winkel, der kleiner ist als 60° (bei C). Wenn der 60°-Winkel der Winkel in der Spitze ist, bleiben für die beiden Basiswinkel 120° also für jeden 60°; wenn der 60°-Winkel ein Basiswinkel ist, muss auch der Winkel in der Spitze 60° sein. Damit ist gezeigt, dass sich das gleichseitige Dreieck nicht in zwei gleichschenklige zerlegen lässt.

Welche Voraussetzungen muss ein Dreieck erfüllen, damit es sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lässt?

Wir tun wieder so, als hätten wir eine Zerlegung des Dreiecks ABC gefunden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit schneiden wir von C durch c und so, dass das Dreieck AXC stumpfwinklig ist. Der Außenwinkel ξ bei X ist (wie man leicht sieht) doppelt so groß wie der Innenwinkel α bei A.

Es gibt jetzt drei Möglichkeiten, ein gleichschenkliges Dreieck anzulegen, sodass ein Dreieck entsteht.

##1.##

Die Innenwinkel des rechten Dreiecks betragen: ξ = β = 2_α_.

Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn ein Innenwinkel doppelt so groß wie ein anderer ist.

##2.##

Im rechten Dreieck ist der Winkel in der Spitze 2_α_ mithin die beiden Basiswinkel 90° - α. Der Winkel γ im Dreieck ABC setzt sich also zusammen aus α und 90° - α, ist also 90°.

Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn es rechtwinklig ist. (Aber das wussten wir ja schon.)

##3.##

In diesem Fall setzt sich der Winkel γ zusammen aus α und 2_α_ = 3_α_.

Ein Dreieck lässt sich wie gewünscht zerlegen, wenn ein Innenwinkel drei mal so groß wie ein anderer ist.

Bis demnächst
Matthias