@@Gunnar Bittersmann > Sei *R* die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, *D* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und *T* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. > > Wie wir gesehen haben, ist *R* ∪ *D* ∪ *T* die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. Und wie wir [später](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702816#m1702816) gesehen haben, ist das nicht der Fall. Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass *D* die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, **welcher aber nicht stumpf sein darf**. (Hier lassen wir mal Matthias’ [Anmerkung](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702819#m1702819) einfließen.) Dann ist *R* ∪ *D* ∪ *T* tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. > Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (*R* ∩ *D*) ∖ *T*, (*R* ∩ *T*) ∖ *D* und (*D* ∩ *T*) ∖ *R*? Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. [diese Fußnote.](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702461#m1702461-fn:aehnlich) # (*R* ∩ *D*) ∖ *T* *R* ∩ *D* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß. 2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu *T*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T*. Zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T* gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck. # (*R* ∩ *T*) ∖ *D* *R* ∩ *T* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu *D*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D*. 2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das letztgenannte Dreieck. # (*D* ∩ *T*) ∖ *R* Bei *D* ∩ *T* sind 4 Fälle zu unterscheiden: 1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 3*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 3*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅙π, 2*ϕ* = ⅓π, 3*ϕ* = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu *R*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R*. 2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₉π = 20°, 2*ϕ* = ²⁄₉π = 40°, 6*ϕ* = ⅔π = 120°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut. 3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₁₀π = 18°, 3*ϕ* = ³⁄₁₀π = 54°, 6*ϕ* = ³⁄₅π = 108°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu *D*. 4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *2ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. **Nachtrag:** Kudos to Matthias. Ohne ihn hätte ich diesen Fall glatt übersehen. Mit 2*ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich 2*ϕ* = ²⁄₁₁π, 3*ϕ* = ³⁄₁₁π, 6*ϕ* = ⁶⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.) Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ⁶⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu *D*. Zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R* gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > Sei *R* die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, *D* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und *T* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. > > Wie wir gesehen haben, ist *R* ∪ *D* ∪ *T* die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. Und wie wir [später](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702816#m1702816) gesehen haben, ist das nicht der Fall. Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass *D* die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, **welcher aber nicht stumpf sein darf**. (Hier lassen wir mal Matthias’ [Anmerkung](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702819#m1702819) einfließen.) Dann ist *R* ∪ *D* ∪ *T* tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. > Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (*R* ∩ *D*) ∖ *T*, (*R* ∩ *T*) ∖ *D* und (*D* ∩ *T*) ∖ *R*? Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. [diese Fußnote.](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702461#m1702461-fn:aehnlich) # (*R* ∩ *D*) ∖ *T* *R* ∩ *D* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß. 2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu *T*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T*. Zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T* gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck. # (*R* ∩ *T*) ∖ *D* *R* ∩ *T* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu *D*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D*. 2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das letztgenannte Dreieck. # (*D* ∩ *T*) ∖ *R* Bei *D* ∩ *T* sind 4 Fälle zu unterscheiden: 1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 3*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 3*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅙π, 2*ϕ* = ⅓π, 3*ϕ* = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu *R*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R*. 2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₉π = 20°, 2*ϕ* = ²⁄₉π = 40°, 6*ϕ* = ⅔π = 120°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut. 3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₁₀π = 18°, 3*ϕ* = ³⁄₁₀π = 54°, 6*ϕ* = ³⁄₅π = 108°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu *D*. 4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *2ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. **Nachtrag:** Kudos to Matthias. Ohne ihn hätte ich diesen Fall glatt übersehen. Mit 2*ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich 2*ϕ* = ³⁶⁰⁄₁₁π, 3*ϕ* = ⁵⁴⁰⁄₁₁π, 6*ϕ* = ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.) Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu *D*. Zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R* gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > Sei *R* die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, *D* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und *T* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. > > Wie wir gesehen haben, ist *R* ∪ *D* ∪ *T* die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. Und wie wir [später](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702816#m1702816) gesehen haben, ist das nicht der Fall. Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass *D* die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, **welcher aber nicht stumpf sein darf**. (Hier lassen wir mal Matthias’ [Anmerkung](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702819#m1702819) einfließen.) Dann ist *R* ∪ *D* ∪ *T* tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. > Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (*R* ∩ *D*) ∖ *T*, (*R* ∩ *T*) ∖ *D* und (*D* ∩ *T*) ∖ *R*? Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. [diese Fußnote.](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702461#m1702461-fn:aehnlich) # (*R* ∩ *D*) ∖ *T* *R* ∩ *D* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß. 2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu *T*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T*. Zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T* gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck. # (*R* ∩ *T*) ∖ *D* *R* ∩ *T* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu *D*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D*. 2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das letztgenannte Dreieck. # (*D* ∩ *T*) ∖ *R* Bei *D* ∩ *T* sind 4 Fälle zu unterscheiden: 1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 3*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 3*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅙π, 2*ϕ* = ⅓π, 3*ϕ* = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu *R*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R*. 2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₉π = 20°, 2*ϕ* = ²⁄₉π = 40°, 6*ϕ* = ⅔π = 120°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut. 3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₁₀π = 18°, 3*ϕ* = ³⁄₁₀π = 54°, 6*ϕ* = ³⁄₅π = 108°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu *D*. 4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *2ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. **Nachtrag:** Kudos to Matthias. Ohne ihn hätte ich diesen Fall glatt übersehen. Mit 2*ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich 2*ϕ* = ³⁶⁰⁄₁₁π, 3*ϕ* = ⁵⁴⁰⁄₁₁π, 6*ϕ* = ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.) Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu *D*. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > Sei *R* die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, *D* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und *T* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. > > Wie wir gesehen haben, ist *R* ∪ *D* ∪ *T* die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. Und wie wir [später](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702816#m1702816) gesehen haben, ist das nicht der Fall. Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass *D* die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, **welcher aber nicht stumpf sein darf**. (Hier lassen wir mal Matthias’ [Anmerkung](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702819#m1702819) einfließen.) Dann ist *R* ∪ *D* ∪ *T* tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. > Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (*R* ∩ *D*) ∖ *T*, (*R* ∩ *T*) ∖ *D* und (*D* ∩ *T*) ∖ *R*? Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. [diese Fußnote.](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702461#m1702461-fn:aehnlich) # (*R* ∩ *D*) ∖ *T* *R* ∩ *D* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß. 2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu *T*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T*. Zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T* gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck. # (*R* ∩ *T*) ∖ *D* *R* ∩ *T* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu *D*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D*. 2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das letztgenannte Dreieck. # (*D* ∩ *T*) ∖ *R* Bei *D* ∩ *T* sind 4 Fälle zu unterscheiden: 1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 3*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 3*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅙π, 2*ϕ* = ⅓π, 3*ϕ* = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu *R*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R*. 2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₉π = 20°, 2*ϕ* = ²⁄₉π = 40°, 6*ϕ* = ⅔π = 120°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut. 3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₁₀π = 18°, 3*ϕ* = ³⁄₁₀π = 54°, 6*ϕ* = ³⁄₅π = 108°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu *D*. 4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *2ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit 2*ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich 2*ϕ* = ³⁶⁰⁄₁₁π, 3*ϕ* = ⁵⁴⁰⁄₁₁π, 6*ϕ* = ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.) Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu *D*. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > Sei *R* die Menge der rechtwinkligen Dreiecke, *D* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, und *T* die Menge der Dreiecke, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. > > Wie wir gesehen haben, ist *R* ∪ *D* ∪ *T* die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. Und wie wir [später](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702816#m1702816) gesehen haben, ist das nicht der Fall. Wir ändern die Aufgabe dahingehend ab, dass *D* die Menge der Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, **welcher aber nicht stumpf sein darf**. (Hier lassen wir mal Matthias’ [Anmerkung](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702819#m1702819) einfließen.) Dann ist *R* ∪ *D* ∪ *T* tatsächlich die Menge aller Dreiecke, die sich in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen. > Die Frage ist nun: Welche Dreiecke gehören jeweils zu den hell schraffierten Flächen, also (*R* ∩ *D*) ∖ *T*, (*R* ∩ *T*) ∖ *D* und (*D* ∩ *T*) ∖ *R*? Im Folgenden werde ich der Einfachheit halber mit „Dreieck“ Klassen von Dreiecken bezeichnen, die einander ähnlich sind, also dieselben Innenwinkelgrößen haben, s.a. [diese Fußnote.](https://forum.selfhtml.org/meta/2017/aug/25/mathematik-zum-wochenende/1702461#m1702461-fn:aehnlich) # (*R* ∩ *D*) ∖ *T* *R* ∩ *D* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel doppelt so groß ist wie ein anderer, welcher nicht stumpf sein darf. Es gibt 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann jeweils ¼π = 45° groß. 2. Der Innenwinkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅙π = 30° und ⅓π = 60°. Damit ist der rechte Winkel dreimal so groß wie der kleinere der beiden anderen. Das Dreieck gehört folglich auch zu *T*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T*. Zu (*R* ∩ *D*) ∖ *T* gehört nur das gleichschenklich-rechtwinklige Dreieck. # (*R* ∩ *T*) ∖ *D* *R* ∩ *T* sind alle rechtwinkligen Dreiecke ist, in denen ein Innenwinkel dreimal so groß ist wie ein anderer. Es gibt wieder 2 Möglichkeiten: 1. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist der rechte Winkel. Die anderen beiden Winkel sind dann ⅙π = 30° und ⅓π = 60° groß. Damit ist der der größere der beiden doppelt so groß wie der kleinere. Das Dreieck gehört folglich auch zu *D*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D*. 2. Der Innenwinkel, der dreimal so groß ist wie ein anderer, ist nicht der rechte Winkel. Dann ergänzen sich die beiden Winkel zu ½π = 90°, ihre Größen sind also ⅛π = 22½° und ⅜π = 67½°. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das letztgenannte Dreieck. # (*D* ∩ *T*) ∖ *R* Bei *D* ∩ *T* sind 4 Fälle zu unterscheiden: 1. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß, der größte Winkel dreimal so groß wie der kleinste. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 3*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 3*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅙π, 2*ϕ* = ⅓π, 3*ϕ* = ½π, das dreieck ist also rechtwinklig; es gehört auch zu *R*, also zu *R* ∩ *D* ∩ *T*, nicht zu (*D* ∩ *T*) ∖ *R*. 2. Der mittelgroße Winkel ist doppelt so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist dreimal so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 2*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 2*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₉π = 20°, 2*ϕ* = ²⁄₉π = 40°, 6*ϕ* = ⅔π = 120°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ²⁄₉π ≤ ½π. Alles gut. 3. Der mittelgroße Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste, der größte Winkel ist doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit *ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich *ϕ* = ⅟₁₀π = 18°, 3*ϕ* = ³⁄₁₀π = 54°, 6*ϕ* = ³⁄₅π = 108°. Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ³⁄₅π > ½π. Peng, das Dreieck gehört nicht zu *D*. 4. Der größte Winkel ist dreimal so groß wie der kleinste und doppelt so groß wie der mittelgroße. Die Winkel betragen also *2ϕ*, 3*ϕ* und 6*ϕ*. Mit 2*ϕ* + 3*ϕ* + 6*ϕ* = π ergibt sich 2*ϕ* = ³⁶⁰⁄₁₁π, 3*ϕ* = ⁵⁴⁰⁄₁₁π, 6*ϕ* = ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π. (Das Umrechnen in Grad spare ich mir hier mal.) Der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, ist ¹⁰⁸⁰⁄₁₁π > ½π. Auch dieses Dreieck gehört nicht zu *D*. Zu (*R* ∩ *T*) ∖ *D* gehört nur das zweitgenannte Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°. (Rechtwinklig ist es ja nicht.) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)