@@Matthias Apsel

Gibt es Dreiecke, die sich auf verschiedene Weise in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen?

Das können ja höchstens die aus den hell schraffierten Flächen sein, oder bin ich da zu voreilig?

Matthias hat natürlich die Lunte gerochen. Wenn sich ein Dreiecke auf verschiedene Weise in in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen lassen können soll, muss es mindestens 2 der Mengen R, D, T angehören, da es für jede dieser Mengen jeweils eine Art der Zerlegung gibt.

Mindestens 2, nicht genau 2. Matthias hatte die dunkel schraffierte Fläche vergessen.

Es ist also für die 4 gefundenen Dreiecke jeweils zu prüfen, ob die verschiedenen Arten der Zerlegung zu verschiedenen Schnittlinien führen oder ob diese zusammenfallen.

Die Zerlegungen nochmal:

• R-Zerlegung: rechter Winkel wird durch die Seitenhalbierende zur Hypotenuse in α und β geteilt

• D-Zerlegung: der dritte Winkel (nicht α = 2β oder β; dessen Größe beträgt π − 3β) wird in β und den Rest π − 4β geteilt

• T-Zerlegung: Winkel der Größe 3β (derjenige, der dreimal so groß ist wie ein anderer) wird in β und α = 2β geteilt

R ∩ D ∩ T: das Dreieck mit den Winkeln ⅙π = 30°, ⅓π = 60°, ½π = 90°

R-, D- und T-Zerlegung ergeben dieselbe Schnittlinie:

(R ∩ D) ∖ T: das Dreieck mit den Winkeln ¼π = 45°, ¼π = 45°, ½π = 90°

D-Zerlegung geht gar nicht, die gibt’s ja nur, wenn der Winkel, der doppelt so groß ist wie ein anderer, spitz ist. (War doch nicht die beste Idee, Matthias’ Anmerkung einfließen zu lassen?)

R-Zerlegung also einzig mögliche.

(R ∩ T) ∖ D: das Dreieck mit den Winkeln ⅛π = 22½°, ⅜π = 67½°, ½π = 90°

R-Zerlegung ergibt:

T-Zerlegung ergibt:

(D ∩ T) ∖ R: das Dreieck mit den Winkeln ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120°

D-Zerlegung ergibt:

T-Zerlegung ergibt:

TL;DR:

Die Zeichendreiecke lassen sich nur auf eine Art in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen.

Die beiden Dreiecke mit den Winkeln ⅛π = 22½°, ⅜π = 67½°, ½π = 90° und ⅟₉π = 20°, ²⁄₉π = 40°, ⅔π = 120° lassen sich auf zwei verschiedene Weisen in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegen.

LLAP 🖖