Auf der von mir betreuten Schulwebsite habe ich das damit gelöst, dass ich die Kacheln von PHP via CURL beziehe, um sie dann an den Browser auszugeben. Vielleicht hilft das hier auch weiter?

Du hast faktisch in PHP einen kleinen HTTP-Proxy-Server geschrieben, wenn du Apache benutzt, kannst du das auch über eine Rewrite-Rule realisieren:

RewriteRule "^/api/(.*)$" "https://example.com/$1" [P]

Stimme aber Christian zu, dass man sich nicht einfach über die Nutzungsbedingungen von OSM hinwegsetzen sollte.