Erläuterung:

Denkt euch den Kreis zunächst weg. Alle farbigen Dreiecke (auch das blaue, teilweise vom roten verdeckte) sind 3:4:5-Dreiecke - die großen haben die Seitenlängen 3, 4 und 5, die andern sind ähnlich zu einem solchen (infolge übereinstimmender Innenwinkel).
Das grüne Dreieck und die beiden blauen sind sogar kongruent, da sie zudem die Hypotenuse 5 gemeinsam haben.

Zu zeigen bleibt noch, dass der Kreis die kurze Kathete des grünen Dreiecks im gemeinsamen Eckpunkt seiner Katheten berührt. Das folgt aber daraus, dass die Hypotenuse des blauen Dreiecks die Länge 5 und die lange Kathete des grünen Dreiecks die Länge 4 hat; deren Differenz ist also der Kreisradius.