Hallo,

Ein Drittel des regulären Sechsecks ist schraffiert. Wie ist das Verhältnis a : b?

1 : 2

zu einfach. Ich nehme mal an, Gunnar meinte ein Drittel der Fläche des Sechsecks, nicht ein Drittel seiner Höhe. Das wäre ja trivial!

Schönen Sonntag noch,
 Martin

Hallo,

Wir teilen das Sechseck (Kantenlänge 1 o.B.d.A.) in 6 gleichseitige Dreiecke. Zwei davon (ABCO) haben ein Drittel der Fläche des Sechsecks.

G, H und I seien die Mittelpunkte von OA, OB und OC. Die Dreiecke AGQ und OGP sind kongruent nach WSW, damit OP = AQ = HP. Wegen OH = BH = ½ ist OP = ¼.

Ebenso sind die Dreiecke IOP und ICR kongruent. Damit sind ABCO und ABCRQ flächengleich; letzte ist also die schraffierte Fläche aus der Aufgabe.

BP : EP = (1 − ¼) : (1 + ¼) = 3 : 5

genau so hatte ich es auch hergeleitet, nur dass ich mich auf eine Hälfte des Sechsecks beschränkt habe - es ist ja symmetrisch z.B. zur senkrechten Mittelachse.

So long,
 Martin

PS: Was zum Geier heißt o.B.d.A.? Ohne Beißen des Autors?

Hallo Gunnar,

wenn man die Raute ABCO entlang AC teilt, halbiert man sie (weil der Höhenfußpunkt eines gleichseitigen Dreiecks die Seite, auf der er liegt, halbiert). ABC belegt demnach ein Sechstel des Secksecks, FDE aus Symmetriegründen auch und damit hat das Rechteck ACDF vier Sechstel der Sechseckfläche.

Um das untere Flächendrittel des Sechsecks zu bekommen, brauche ich ABC und ein weiteres Sechstel. Das erhalte ich durch das untere Viertel von ACDF, woraus (mit $\overline{AF}=1$) der Wert $\overline{HP}=\frac{1}{4}$ folgt. Daraus ergibt sich dann $\overline{BP}=3/4$ und $\overline{PE}=5/4$, das heißt:

$\displaystyle \frac{\overline{BP}}{\overline{PE}}=\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{4}}=\frac{3}{5}$.

Rolf