echo $begrueszung;
Nö, musst du nicht, nimm stattdessen $_SERVER['REQUEST_URI'].
hm, ich lande trotzdem auf der index.php.
<form action="<?php echo $_SERVER['REQUEST_URI']; ?>">
Du gibst nicht an, welche Methode (GET/POST) verwendet werden soll. In dem Fall ist GET die Default-Einstellung. Nun passiert, dass deine Formular-Daten den vorhandenen QueryString einfach überschreiben...
Das hättest du sehen können, wenn du dir die übermittelten Daten hättest angezeigen lassen:
echo '<pre>';
print_r($_GET);
print_r($_POST);
echo "$verabschiedung $name";