intro generieren - session ist schon vorhanden

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Wenn das gif zu ende abgelaufen ist, wird die Seite nochmal geladen.

Das sehe ich als ungünstig an. Wenn du dem Client nicht mitteilst, dass die eben empfangene Seite bereits veraltet (expired) ist, wird er die bereits im Cache befindliche Seite laden, was zu einer Endlosschleife führt.
Nimm doch beispielsweise eine index.html/php für das Intro und eine index2.html/php für den Inhalt nach dem Intro.
Wenn ich regelmäßiger Besucher einer Seite mit verzögerndem Intro wäre, würde ich nicht jedes Mal auf diese Weiterleitung warten wollen.

echo "$verabschiedung $name";