echo $begrüßung;
Also die utf8_encode-Methode auf die Strings anwenden.
Ja natürlich, wenn du der Datenbank sagst, dass die Kommunikation in UTF8-Kodierung abläuft und du ihr Daten schickst, die nicht UTF8-kodiert sind, ergibt das Fehler.
Du solltest außerdem nicht addslashes() sondern die für MySQL besser geeignetere Methode mysql_real_escape_string() verwenden.
echo "$verabschiedung $name";