Weiß nicht, wo der Fehler liegt...

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Meine Antwort basiert rein auf Vermutung. Jede Aussage bitte gedanklich mit einem "möglicherweise" ergänzen.

Statt September erscheint jetzt im Popup oben Oktober.

Den Fehler liegt in der Sprachdatei

$language_file  = "calendar." . $calendar_language;     //Language file into variable
$fd             = fopen( $language_file, "r" );             //Open the language file
$fd             = fread( $fd, filesize( $language_file ) ); //Read the opened file
$language_array = explode( "\n" , $fd );                    //Put file info into array

$dayname   = array_slice($language_array,0,7); //The names of the days

$monthname = array_slice($language_array,7);   //The rest of the language file are the monthnames

mit der $monthname gefüllt wird. Dort fehlt eine (Leer-)zeile zwischen den Tages und Monatsnamen.
$monthname enthält damit array(0 => 'Januar', 1 => 'Februar', ...)
Ich habe die Array-Keys mal explizit mit angegeben. Damit dürfte der Versatz um den einen Monat zu erklären sein.

//show events in popup?

[...]

list ($year, $month, $day) = explode ("-", $_GET['event_date']);

[...]

$date_string = mktime(0,0,0,$month,$day,$year);
    $month = sprintf("%01d",$month);

echo "<tr><td align="center" class="cal_head" colspan="2">".$day." " . $monthname[$month] . " ".$year."</td></tr>";

echo "$verabschiedung $name";