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echo $begrüßung;
Wie müsste das denn da richtig heißen?
Du schreibst beim Umschreiben für jede Zeile einen Leerstring statt der Zeile. fputs($new, "");
Nun, statt Leerstring musst du die Zeile schreiben, welche sich bei dir in der Variable $line befindet.
echo "$verabschiedung $name";