Vielen Dank, das hat mir geholfen. Hier nochmal meine Lösung fürs Archiv:
/* ermittelt für "tag", welcher Tag im Jahr momentan ist, wenn der erste Januar die Zahl 0 zugewiesen bekommt. */
var datum = new Date();
var datumNeujahr = new Date(datum.getYear(), 0, 1, 0, 0, 0);
var datumHeute = new Date(datum.getYear(), datum.getMonth(), datum.getDate(), 0, 0, 0);
var tag = (datumHeute - datumNeujahr) / 86400000;