wo ist das problem?

[dedlfix]

echo $begrüßung;

$news_layout = array('/layout/news/news_01.php',
      include "$news_layout[$c]";

(Die Anführungszeichen sind überflüssig.)

Die Dateien (news_01.php usw.) liegen in root/layout/news/

Warning: main(/layout/news/news_01.php) [function.main]: failed to open stream: No such file or directory in root\index.php on line 63
Wo ist der Fehler?

Das hat dir doch die Fehlermeldung gesagt. PHP orientiert sich bei Dateioperationen (incl. include, require, etc.) am Dateisystem [*], nicht an irgendwelchen Einstellungen der Apache-Konfiguration. Wenn du absolute Pfade angibst...

[*] Die PHP-Konfigurationseinstellung include_path hat auch noch ein Wörtchen mitzureden.

echo "$verabschiedung $name";