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Hi,
Meinetwegen auch "bei der Übersetzung von einem System in's andere".
die verluste treten nur in der praxis auf. und zwar wegen der beschraenktheit des speichers.
Kann es denn nicht auch inkompatible Systeme geben?
Nein, Du hast mich mißverstanden, ich meinte wirklich den String "pi * 0,1". Das ist bereits eine ausreichende Darstellung der vollständigen Zahl,
ist dann pi*0,1 groesser oder kleiner als 1?
Steht in den Systemregeln.
(woher weiss der computer das?)
Man sagt es ihm durch o.a. Systemregeln.
Genauso, wie er es erfahren hat, das im Dezimalsystem 0 kleiner 1 ist.
Du hast ein endliches Alphabet.
Die Worte daraus müssen endlich sein.
Es gibt eine Grammatik mit einer endlichen Anzahl Regeln.Frage: ist es möglich damit jedes Element einer unendlichen Menge zu beschreiben?
implizit ist das kein problem: \mathbb{N} (das N als symbol fuer die menge der natuerlichen zahlen).
das geht sogar, wenn man eine ueberabzaehlbar grosse menge gegeben hat:
\mathbb{R} (das R als symbol fuer die menge der reellen zahlen).
Das wäre die ganze Menge, ich hatte jedoch einzelne Elemente gemeint. Grundmenge sei hier ... mmh ... [latex]\mathbf{R}\cup\mathbf{C}[/latex]?
explizit ist es nicht moeglich.
die gruende wurden schon alle genannt:
jeder zahl eindeutig ein symbol zuordnen wuerde unendlich viele symbole erfordern. (unendliches alphabet)
Eine hübsches Lemma, gibt's dafür Beweise?
Einerseits haben wir, bei Nutzung des heutzutage im täglichem Umgang üblichen Dezimalsystems, ein elfteiliges Alphabet {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,"[,.]"} mit dem Regelsatz, das eine Stelle von der direkt benachbarten Stelle um den Faktor 10 verschieden ist und ein Trennzeichen eine Ziffernfolge einleitet, die nach gleichen Regeln den Abstand zwischen der aktuellen natürlichen Zahl aus Z vor dem Trennzeichen und der folgenden Zahl aus Z bezeichnet. Damit lassen sich alle Zahlen aus Q darstellen, jedoch kann es zu unendlich langen Ziffernfolgen/Worten kommen. Elemente aus C lassen sich alleine mit o.a. Alphabet nicht darstellen. Somit ist als Nebeneffekt schonmal herausgekommen, das es tatsächlich inkompatible Systeme gibt.
Zudem ist es möglich mit diesem endlichem Alphabet eine unendliche Anzahl von Zahlen darzustellen. Leider gibt es dabei auch eine unendliche Anzahl an unendlich langen Worten und genau das sollte ja vermieden werden.
Wir können jede Zahl aus einer total geordneten unendlichen Menge auch durch ihre direkten Nachbarn beschreiben: x<y<z. Somit gibt es vier Mengen:
[latex]\mathbb{A} = \left[\mathbb{A}|\mathbb{A} \subset\mathbb{G} \right] [/latex]
[latex]\mathbb{B} = \left[\mathbb{B}| \mathbb{B} \subset \mathbb{G}\right] [/latex]
[latex]\left{x\right} = \left[\left{x\right}| \left{x\right} \subset \mathbb{G}\right] [/latex]
[latex]\mathbb{G} = \mathbb{A} \cup \mathbb{B} \cup \left{x\right}[/latex]
Damit gibt es:
[latex]\forall x \in \mathbf{G}~\exists\left{y,z\right} = \left[\left{y,z\right}\subset \mathbf{G}|y<x<z][/latex]
Somit auch die beiden Intervalle[latex]\mathbf{A} = \left(-\infty,y\right] [/latex] und [latex]\mathbf{B} = \left[z,+\infty\right) [/latex]. Somit folgt:
[latex]x = \mathbf{G}\setminus \left(\mathbf{A}\cup\mathbf{B}\right)[/latex]
Also ist es möglich jede Zahl als endliche Symbolfolge darzustellen.
Wwenn ich mich nicht irgendwo vertan habe natürlich ;-)
BTW: ich glaube folgender Code aus meinem Archiv dürfte Dich amüsieren:
sorry, ich werde in den naechsten tagen nicht zu dazu kommen ihn mir anzuschauen.
Ich glaube, da reicht schon ein Überfliegen ;-)
so short
Christoph Zurnieden
Struppi
seth