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echo $begrüßung;
Genau an diesem Punkt fällt mir ein Punkt ein, der das bisherige Szenario zum Scheitern bringen könnte: Server 1 kann einen anderen session_name() festgelegt haben, als Server 2. Dieser Name ist normalerweise nicht konkret von Belang, Unterschiede würden aber verhindern, dass das auf die gesamte Subdomain erweiterte Cookie auf dem jeweils anderen Server wirksam würde, weil PHP dort nach einem anderen Wertepaar sucht.
Ich befürchte, dass ich hier deine Bedenken nicht richtig verstehe. session.name ist "PHP_INI_ALL-Changable" und auch session_name() ist nicht nur zum Auslesen geeignet.
Und auch der sonst praktizierte Ansatz, einfach session_name() und session_id() des lokalen PHP in einen generierten Link zu integrieren, schlägt fehl, weil das lokale PHP ja keine Information über den tatsächlichen session_name() des externen PHP hat. Man müßte diese Information also im lokalen PHP als String konfigurieren und sicherstellen, dass sich diese Einstellung nur synchron verändert.
Es sollte kein Problem sein, wenn man sich innerhalb seiner Anwendungen auf einen Namen festlegt.
echo "$verabschiedung $name";