echo $begrüßung;
IE arbeitet das Formular einmal ab, Firefox 2x.
Versuche das Problem mit dem geringst möglichen Code nachzuvollziehen. Wenn es auftritt, zeige uns den Code. Wenn es nicht auftritt, erweitere es schrittweise bis der Fehler auftritt. Wenn du dann noch Fragen hast zeige uns den Code, der den Fehler offensichtlich verursacht.
echo "$verabschiedung $name";
P.S. So einen Fehler hatte ich schon mal gesucht, kann mich aber nur vage erinnern, weil es nicht mein Problem war.
<img src="">
<?php
$f = (int)@file_get_contents('test.txt');
$f++;
file_put_contents('test.txt', $f);
?>
So lässt es sich nachstellen. Der IE erhöht die Zahl in der test.txt um 1, der FF um 2. Schuld daran ist das <img> mit dem leerem src, welches nur im FF für den zweiten Script-Aufruf sorgt. Der IE scheint es zu ignorieren.
Diese Nachstellung muss nicht mit der Ursache deines Problems übereinstimmen. Du solltest die Ursache aber mit der obigen Methode finden/einkreisen können.