Prüfen ob Datensatz existiert

[dedlfix]

echo $begrüßung;

Wenn "es nach dem ersten gefundenen Datensatz" aufhört zu suchen, hätte es ORDER BY ignoriert.

Aber bei SELECT * FROM table_name WHERE Name='$name' sehe ich kein ORDER BY.

Ja, da ist keins. Das ist dann auch nicht "prinzipiell" - auf diese deine Aussage bezog ich mich - sondern ein spezieller Fall.
Und dann kommt es auch noch darauf an, ob ein Index genutzt werden kann, wenn ich vom Handbuchkapitel LIMIT Optimization den ersten Anstrich richtig verstanden habe.

echo "$verabschiedung $name";