nicht angemeldet
echo $begrüßung;
Aus irgendeinem Grund gibt der die Varibale $_SESSION['nick'] nicht weiter..
Hier scheint mir auch noch ein Verständnisproblem deinerseits vorzuliegen. $_SESSION wir nicht "weitergegeben". $_SESSION ist nur ein Behälter zum Aufheben von Daten. Weitergegeben (an den Browser und von dem wieder zurück) wird nur die Session-ID, Mit dieser findet PHP dann den richtigen $_SESSION-Behälter. Wenn also dein Behälter nicht das Erwartete enthält, solltest du den Fehler bei der Übergabe der Session-ID suchen.
echo "$verabschiedung $name";