echo $begrüßung;
sollte nicht ob_end_flush() der Anfrage ein Ende setzen?
Nein, es setzt der mit ob_start() gestarteten Zwischenpufferung der Ausgabe ein Ende.
Ein Webserver hat im Allgemeinen kein Interesse daran, dass die zum Abarbeiten von Requests gestarteten Prozesse nach Beendigung der Abfrage noch weiterleben, braucht er doch die Ressourcen für neue Requests.
Vermutlich wirst du zur Erfüllung deiner Aufgabenstellung einen neuen Prozess erzeugen müssen, der weiterleben kann, während der Request-Prozess sich beendet und damit den Apachen zufriedenstellt.
echo "$verabschiedung $name";