echo $begrüßung;
Eine Vorüberlegung: in einer MySQL-Datenbank einen Wert ändern, der das Script verhindert nach dem ersten Versenden weitere Mails zu versenden...
... dürfte der sinnvollste Ansatz sein. Z.B. ein Wert "Alarm aktiv" mit normalerweise false.
Bist du sicher, dass es sinnvoll ist, das komplette Datenbankhandling durchzuführen statt file_exists(), touch() und gegebenenfalls noch unlink()? Die Datenbank-Lösung würde ich nur dann nehmen, wenn sowieso eine Datenbankabfrage für den Vorgang erforderlich ist.
Die Existenz einer Datei kann man übrigens auch im Shellscript recht einfach feststellen, Anlegen ebenfalls.
echo "$verabschiedung $name";