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echo $begrüßung;
Wenn ich mit per AJAX asynchron etwas aus einer Datenbank abrufe und dafür ein PHP Skript aufrufen muss welches die gleiche Klasse verwendet die schon aufgerufen ist im aktuellen Dokument, nochmal verwenden?
Was genau meinst du mit "aktuelles Dokument"? Doch nicht etwa das, was der Browser gerade anzeigt und der Webserver längst vergessen hat?
Also ich meine kann ich das als Singleton-Pattern implementieren so das ich nicht erneut ein Objekt erstellen muss?
Jede Instanz eines Scripts läuft in einem separaten Bereich. Jede Instanz muss für die Initialisierung ihrer notwendigen Ressourcen selbst sorgen. So die Grundregel. Es gibt Sachen wie Shared Memory und persistente Datenbankverbindungen, aber die solltest du nur mit Wissen um diese Techniken, reichlich Tests und Erfahrung produktiv einsetzen. Das Wissen stellt dabei weniger ein Problem dar, das bekommst du im Netz.
echo "$verabschiedung $name";