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Gunnar Bittersmann
Der Martin
Gunnar Bittersmann
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Hallo!
Neulich musste ich feststellen, dass ich nicht in der Lage bin, die Gleichung a^x - x^a = 0 nach x aufzulösen. Nach einiger Recherche stelle ich dann fest, dass man eine solche Gleichung nicht mehr analytisch, sondern nur noch numerisch, bzw. mit der Lambertschen W-Funtion lösen kann.
Nun stelle ich mir die Frage: woran liegt das? Wieso kann man bestimmte Funktionen exakt bestimmen - andere jedoch nicht, obwohl es auch dort eine "exakte" Lösung gibt? Und: ist es _bewiesen_, dass man eine solche Funktion nicht analytisch/algebraisch lösen kann oder hat man das richtige "Mittel" vielleicht nur noch nicht gefunden?
Ein ähnliches Problem hat man ja z.B. auch bei Polynomen. Wieso kann man denn Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bis 4 exakte analytische Lösungsformeln angeben, aber ab 5 plötzlich nicht mehr? So etwas gibt es doch eigentlich sonst nicht in der Mathematik. Woher kommt das?
Vielleicht kann ja hier jemand Licht ins Dunkel bringen.
Voller Hoffnung,
Wouzhuo
ist es _bewiesen_, dass man eine solche Funktion nicht analytisch/algebraisch lösen kann oder hat man das richtige "Mittel" vielleicht nur noch nicht gefunden?
Könnte ja sein dass es wirklich so ist. Irgendwann hat man jede Gleichung erst mal gefunden, vorher hat man es gar nicht gelöst oder auch nur näherungsweise.
Tach,
Nun stelle ich mir die Frage: woran liegt das? Wieso kann man bestimmte Funktionen exakt bestimmen - andere jedoch nicht, obwohl es auch dort eine "exakte" Lösung gibt?
in den meisten Fällen ist es einfach nur der Grad der Koplexität, der das Finden von Lösungsalgorithmen erschwert.
Und: ist es _bewiesen_, dass man eine solche Funktion nicht analytisch/algebraisch lösen kann oder hat man das richtige "Mittel" vielleicht nur noch nicht gefunden?
Es gibt mathematische Probleme, die beweisbar unlösbar sind, darunter sind auch algorithmische Probleme z.B. das Halteproblem.
Ein ähnliches Problem hat man ja z.B. auch bei Polynomen. Wieso kann man denn Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bis 4 exakte analytische Lösungsformeln angeben, aber ab 5 plötzlich nicht mehr?
Hast du den Algorithmus für quartische Gleichungen mal gesehen und besser mal durchgeführt? Wenn ich eine gute numerische Methode habe kann ich mir sehr häufig Zeit/Arbeit sparen, statt eine Berechnung exakt durchzuführen.
So etwas gibt es doch eigentlich sonst nicht in der Mathematik. Woher kommt das?
Ungelöste Probleme gibt es sehr viele, und dann müssen wir immer im Hinterkopf behalten, dass wir beweisen können, dass manche Dinge unbeweisbar bleiben: ("Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig.") Bei den meisten Problemen fehlt es vermutlich aber eher am schlauen Kopf, der es löst. Also: "Auf, Auf!" - aber solltest du die Primfaktorzerlegung algorithmisch lösen, dann warne uns bitte frühzeitig vor und immer schön alles auf große Blätter schreiben, wir wollen kein zweites "Hanc marginis exiguitas non caperet".
Vielleicht kann ja hier jemand Licht ins Dunkel bringen.
mfg
Woodfighter
Tach,
Nun stelle ich mir die Frage: woran liegt das? Wieso kann man bestimmte Funktionen exakt bestimmen - andere jedoch nicht, obwohl es auch dort eine "exakte" Lösung gibt?
in den meisten Fällen ist es einfach nur der Grad der Koplexität, der das Finden von Lösungsalgorithmen erschwert.
Und: ist es _bewiesen_, dass man eine solche Funktion nicht analytisch/algebraisch lösen kann oder hat man das richtige "Mittel" vielleicht nur noch nicht gefunden?
Es gibt mathematische Probleme, die beweisbar unlösbar sind, darunter sind auch algorithmische Probleme z.B. das Halteproblem.
Ja, die Biberfunktion. Ist mir bekannt =) und finde ich sehr faszinierend (aber auch schade).
Ein ähnliches Problem hat man ja z.B. auch bei Polynomen. Wieso kann man denn Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bis 4 exakte analytische Lösungsformeln angeben, aber ab 5 plötzlich nicht mehr?
Hast du den Algorithmus für quartische Gleichungen mal gesehen und besser mal durchgeführt? Wenn ich eine gute numerische Methode habe kann ich mir sehr häufig Zeit/Arbeit sparen, statt eine Berechnung exakt durchzuführen.
Da stimme ich durchaus überein. Aber trotzdem finde ich es komisch, dass es plötzlich ab 5 kein eindeutiges Verfahren mehr gibt. Wenn es nur für die 1 ein eindeutiges Verfahren gäbe, dann könnte ich mich damit abfinden. Aber normalerweise heißt es "0, 1 oder unendlich" aber nicht irgendetwas dazwischen.
aber solltest du die Primfaktorzerlegung algorithmisch lösen, dann warne uns bitte frühzeitig vor
Ich schreibs dir dann von meinem Strandhaus in Malibu.
Vielleicht kann ja hier jemand Licht ins Dunkel bringen.
Hübsch =), aber wieso fehlt Seite 79? =(
Tach,
Aber trotzdem finde ich es komisch, dass es plötzlich ab 5 kein eindeutiges Verfahren mehr gibt.
tja, so ist das halt mit symmetrischen Gruppen: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Abel-Ruffini.
Wenn es nur für die 1 ein eindeutiges Verfahren gäbe, dann könnte ich mich damit abfinden. Aber normalerweise heißt es "0, 1 oder unendlich" aber nicht irgendetwas dazwischen.
Nö, es gibt vermutlich für alle natürlichen Zahlen ein passendes Problem: http://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Farben-Satz
Hübsch =), aber wieso fehlt Seite 79? =(
Damit der gute Herr Beutelspacher auch weiterhin Bücher schreiben kann.
mfg
Woodfighter
Tach,
Aber trotzdem finde ich es komisch, dass es plötzlich ab 5 kein eindeutiges Verfahren mehr gibt.
tja, so ist das halt mit symmetrischen Gruppen: http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Abel-Ruffini.
Wenn es nur für die 1 ein eindeutiges Verfahren gäbe, dann könnte ich mich damit abfinden. Aber normalerweise heißt es "0, 1 oder unendlich" aber nicht irgendetwas dazwischen.
Nö, es gibt vermutlich für alle natürlichen Zahlen ein passendes Problem: http://de.wikipedia.org/wiki/Vier-Farben-Satz
Das find ich zwar nicht gut, aber es "befriedigt" meine Neugier doch immerhin ein bisschen.
Hübsch =), aber wieso fehlt Seite 79? =(
Damit der gute Herr Beutelspacher auch weiterhin Bücher schreiben kann.
Kaufen werd ich mir das Buch so oder so. Ich hätte trotzdem gerne _jetzt_ schon gewusst, was er da geschrieben hat. Nunja, vielleicht gibt's ja irgendwo ein PDF. =/
Tach,
Kaufen werd ich mir das Buch so oder so. Ich hätte trotzdem gerne _jetzt_ schon gewusst, was er da geschrieben hat. Nunja, vielleicht gibt's ja irgendwo ein PDF. =/
er beschreibt noch kurz die ihm missfallende Vermischung von Konjunktiv mit Imperativ in der Formulierung von Übungsaufgaben, bevor er die Übungen des Kapitels folgen läßt. Wenn du an gelösten Problemen interessiert bist und auch mit einigen Mathematikkentnissen gesegnet bist, würde ich dir noch Proofs from THE BOOK empfehlen.
mfg
Woodfighter
Hi Jens.
aber solltest du die Primfaktorzerlegung algorithmisch lösen [...]
Das ist leicht.
:-)
Viele Grüße,
der Bademeister
Tach,
aber solltest du die Primfaktorzerlegung algorithmisch lösen [...]
Das ist leicht.
und so siebten sie vor sich hin ;-)
mfg
Woodfighter
Hi Wouzhuo.
Nun stelle ich mir die Frage: woran liegt das? Wieso kann man bestimmte Funktionen exakt bestimmen
?? Was meinst Du damit? Meinst Du "Nullstellen von Funktionen exakt bestimmen"? Oder "Gleichungen exakt lösen"? Oder...?
Ein ähnliches Problem hat man ja z.B. auch bei Polynomen. Wieso kann man denn Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bis 4 exakte analytische Lösungsformeln angeben [...]
Kann man das? Was ist denn eine Lösungsformel für die Gleichung x^2 = 2?
Es kommt halt immer etwas drauf an, was man unter "exakte [...] Lösungsformel" versteht. Umkehrfunktionen einzuführen und so zu tun, als seien sie "exakt", ist i.a. nun mal gemogelt. :-)
Viele Grüße,
der Bademeister
Tach,
Kann man das? Was ist denn eine Lösungsformel für die Gleichung x^2 = 2?
such dir eine aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Pq-Formel#L.C3.B6sungsformeln
Es kommt halt immer etwas drauf an, was man unter "exakte [...] Lösungsformel" versteht. Umkehrfunktionen einzuführen und so zu tun, als seien sie "exakt", ist i.a. nun mal gemogelt. :-)
Die Wurzel ist eine wunderbare Umkehrfunktion, man sollte sich bloss nicht auf derart unvollständige Zahlenräume wie die reellen Zahlen beschränken.
mfg
Woodfighter
such dir eine aus: http://de.wikipedia.org/wiki/Pq-Formel#L.C3.B6sungsformeln
Dann schreib doch mal ne Lösung der obigen Gleichung hin.
Es kommt halt immer etwas drauf an, was man unter "exakte [...] Lösungsformel" versteht. Umkehrfunktionen einzuführen und so zu tun, als seien sie "exakt", ist i.a. nun mal gemogelt. :-)
Die Wurzel ist eine wunderbare Umkehrfunktion,
Stimmt. Und? :-)
Was ich sagen wollte, aber offenbar nicht geschafft habe: Man kann, ebenso wie Lösungen der Gleichung a^x = x^a, auch Wurzeln von Polynomen (vom Grad 2) i.a. nicht "analytisch exakt" (was immer das heißen soll) berechnen, sondern nur numerisch approximieren. Das ist kein inhärentes Problem der jeweiligen Funktion, sondern der Zahlen, die man gerne berechnen will.
Viele Grüße,
der Bademeister
Tach,
Dann schreib doch mal ne Lösung der obigen Gleichung hin.
[latex]
x =\pm \sqrt{2}
[/latex]
mfg
Woodfighter
[latex]
x =\pm \sqrt{2}
[/latex]
Wir reden etwas aneinander vorbei :-) Was mir immer noch nicht zu sagen gelungen ist, und ich daher nochmal versuche:
Lösung von x^2 = 2:
x = "das Bild der Zahl 2 unter der Umkehrfunktion[1] der Quadratfunktion (a.k.a. Wurzelfunktion), das ich leider nicht genau berechnen kann"
vs.
Lösung von a^x = x^a:
x = "das Bild von 0 unter der Umkehrfunktion[1] der Funktion [latex] x \mapsto a^x - x^a [/latex] das ich leider nicht genau berechnen kann"
Was ist der Unterschied? Der Unterschied ist, dass es für die erste Umkehrfunktion ein schickes Symbol gibt ;-)
[1] oder besser: *einer* Umkehrfunktion
Viele Grüße,
der Bademeister
Tach,
Was ist der Unterschied? Der Unterschied ist, dass es für die erste Umkehrfunktion ein schickes Symbol gibt ;-)
nicht ein schickes Symbol, sondern einen (na gut zwei) konkreten Zahlenwert für die Nullstelle des Polynoms und den kann ich für jede Verallgemeinerung eines Polynoms zweiten Grades angeben.
mfg
Woodfighter
Man Jens, jetzt biste aber'n bissi dickköpfig :-)
nicht ein schickes Symbol, sondern einen (na gut zwei) konkreten Zahlenwert für die Nullstelle des Polynoms und den kann ich für jede Verallgemeinerung eines Polynoms zweiten Grades angeben.
Nein. Ich wette nen Tausender, dass Du keinen konkreten Zahlenwert für ne Nullstelle des Polynoms x^2 = 0 kennst.
Die Aussage "Die Lösung ist √2" ist völlig leer, weil tautologisch (siehe Wurzel). Natürlich kann man die Zahl auf diese Weise exakt *beschreiben*, weil eben nun mal das Polynom (eingeschränkt auf positive Zahlen) die Zahl exakt bestimmt.
Aber verstehst Du das unter "Zahlenwert"? Die meisten Leute verstehen unter "Zahlenwert" eher eine g-adischen Darstellung, oder? Wenn Du das anders siehst, dann ziehe ich mein obiges Wettangebot ganz schnell wieder zurück ;-)
Viele Grüße,
der Bademeister
@@Bademeister:
nuqneH
Ich wette nen Tausender, dass Du keinen konkreten Zahlenwert für ne Nullstelle des Polynoms x^2 = 0 kennst.
Ich nehme die Wette an!! ;-)
BTW, was denn nun eigentlich: „Nullstelle des Polynoms x²“ oder „Lösung der Gleichung x² = 0“? x² = 0 ist jedenfalls kein Polynom.
Qapla'
Ich wette nen Tausender, dass Du keinen konkreten Zahlenwert für ne Nullstelle des Polynoms x^2 = 0 kennst.
Ich nehme die Wette an!! ;-)
Huch. Watn Quatsch, den ich da geschrieben habe.
BTW, was denn nun eigentlich: „Nullstelle des Polynoms x²“ oder „Lösung der Gleichung x² = 0“? x² = 0 ist jedenfalls kein Polynom.
Also: Ich meinte das Polynom x² - 2.
Gut, dass ich Dir keine Wette angeboten habe ;-)
Viele Gruesse,
der Bademeister
@@Bademeister:
nuqneH
Also: Ich meinte das Polynom x² - 2.
Das war mir schon klar.
Gut, dass ich Dir keine Wette angeboten habe ;-)
Hattest du nicht? Doch hattest du:
Ich wette nen Tausender, dass […]
Bevorzugst du Barzahlung, Überweisung, PayPal, …?
Qapla'
Das war mir schon klar.
Das war mir schon klar. Wenn Du keine Korrektur hoeren willst, dann brauchste auch nicht
was denn nun eigentlich [...]
nachzufragen.
Gut, dass ich Dir keine Wette angeboten habe ;-)
Hattest du nicht? Doch hattest du:
Ich wette nen Tausender, dass […]
Ok, Punkt fuer Dich. Dann kommt es mir ja zugute, dass die Aussage voellig unbrauchbar war, weil die Gleichung "x^2 = 0" nun mal weder ein Polynom ist noch Nullstellen besitzt (haettste den Einwand mal besser fuer Dich behalten ;-)). Daher wird Jens auch keine Nullstellen davon kennen.
Bevorzugst du Barzahlung, Überweisung, PayPal, …?
Wenn Du drauf bestehst - am einfachsten ist es, wenn Du ueberweist.
Viele Gruesse,
der Bademeister
Hallo,
Aber verstehst Du das unter "Zahlenwert"?
also ich verstehe darunter etwas wie 2.5287956, 42, e, -1, √3 oder π.
Die meisten Leute verstehen unter "Zahlenwert" eher eine g-adischen Darstellung, oder?
Bitte WAS?
So long,
Martin
Tach,
Die meisten Leute verstehen unter "Zahlenwert" eher eine g-adischen Darstellung, oder?
Bitte WAS?
Darstellung in einem Stellenwertsystem.
mfg
Woodfighter
Tach,
Die Aussage "Die Lösung ist √2" ist völlig leer, weil tautologisch (siehe Wurzel). Natürlich kann man die Zahl auf diese Weise exakt *beschreiben*, weil eben nun mal das Polynom (eingeschränkt auf positive Zahlen) die Zahl exakt bestimmt.
die "Zahl ist exakt beschrieben" würde ich als "konkreten Zahlenwert" begreifen, ich weiß konkret welches Element der reellen Zahlen ich mir greifen muss, um die Lösung zu haben ohne weitere Umformungen durchzuführen.
Aber verstehst Du das unter "Zahlenwert"? Die meisten Leute verstehen unter "Zahlenwert" eher eine g-adischen Darstellung, oder?
nein, die g-adische Darstellung ist ja schon bei rationalen Zahlen nicht mehr vernünftig zu gebrauchen. Aber wenn du da die Periodendarstellung [latex]\frac{1}{3} = 0.\overline{3}[/latex] akzeptierst, wüßte ich nicht, was an der Erweiterung um das Wurzelzeichen zur Darstellung Algebraischer Zahlen schlimmer wäre; wenn es dir lieber ist, schreibe ich auch gerne [latex]2^\frac{1}{2}[/latex] um das ungeliebte Zeichen verschwinden zu lassen. Würde ich derartige Erweiterungen nicht zulassen, könnte ich ja sonst nie mit konkreten Zahlen wie i, π oder e arbeiten.
Wenn Du das anders siehst, dann ziehe ich mein obiges Wettangebot ganz schnell wieder zurück ;-)
Das sei dir gewährt ;-)
mfg
Woodfighter
die "Zahl ist exakt beschrieben" würde ich als "konkreten Zahlenwert" begreifen,
Ich lass jetzt mal das Wort "Zahlenwert" weg, weil ich nicht weiss, was es bedeuten soll.
Also: Die Zahl, von der wir reden (√2), ist durch den Ausdruck
[A]: "die positive Loesung der reellen Gleichung x^2 = 2"
eindeutig bestimmt. Wenn Du nun jemanden nach ner Loesung der Gleichung fragen wuerdest, dann wurdest Du den obigen Ausdruck als Antwort wahrscheinlich nicht wirklich durchgehen lassen wollen :-)
Der Ausdruck
[B]: "√2"
bedeutet: "Das Bild der Zahl 2 unter der Quadratwurzelfunktion". Wenn Du da nun die Definition[1] der Wurzelfunktion einsetzt, erhaeltst Du genau Ausdruck [A]. Die Aussage "Die Loesung ist '√2'" ist also genau die gleiche Aussage wie "Die Loesung ist [A]". Und somit leer.
wenn es dir lieber ist, schreibe ich auch gerne 2^\frac{1}{2} um das ungeliebte Zeichen verschwinden zu lassen.
Es ist egal, wie Du es schreibst, und ich will Dir auch nichts verbieten, das ist ueberhaupt nicht das Thema. Es ist nun mal im allgemeinen *nicht moeglich*, reelle Zahlen, die z.B. Loesungen irgendwelcher Gleichungen sind, anders zu beschreiben als genau durch die Eigenschaft, Loesungen dieser Gleichung (oder Umformulierungen davon) zu sein[1].
Es ist in dem Sinne auch nicht noetig, weil diese Eigenschaft sie ja nun mal bestimmt. Aber in dieser Hinsicht ist das "Loesen" von Gleichungen, also das Finden von Loesungen, uninteressant - es ist nicht mal klar, was das bedeuten soll. Ich wuerde unter "Loesen von Gleichungen" i.a. so etwas verstehen wie: eine Darstellung der Zahl in einem festgelegten Darstellungssystem[2] (finden|approximieren). Wenn das nicht gemeint ist, dann ist die Aufgabenstellung des Loesens leer und die Frage des OP nichtig.
[1] Man koennte das Problem natuerlich etwas umschiffen, wenn man die Wurzal anders definiert als als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Das Thema will ich aber nicht ausbreiten - ich hab naemlich Hunger und muss jetzt erstmal was essen :-)
[2] das keineswegs g-adisch sein muss
Viele Gruesse,
der Bademeister
@@Bademeister:
nuqneH
Es ist nun mal im allgemeinen *nicht moeglich*, reelle Zahlen, die z.B. Loesungen irgendwelcher Gleichungen sind, anders zu beschreiben als genau durch die Eigenschaft, Loesungen dieser Gleichung (oder Umformulierungen davon) zu sein[1].
Doch. Bspw. die Zahl [latex]\sqrt[3]{\sqrt 5 + 1}[/latex] ist beschrieben durch: wende den √-Operator auf 5 an, addiere 1 dazu und wende auf das Ergebnis den ∛-Operator an.
Eine Gleichung, deren eine Lösung diese Zahl wäre, ist bei der Beschreibung nicht im Spiel. (Und BTW, eine solche sähe wohl weitaus komplizierter aus.)
Qapla'
Es ist nun mal im allgemeinen *nicht moeglich*, reelle Zahlen, die z.B. Loesungen irgendwelcher Gleichungen sind, anders zu beschreiben als genau durch die Eigenschaft, Loesungen dieser Gleichung (oder Umformulierungen davon) zu sein[1].
Doch.
Aha.
Bspw. [...]
Gegen*beispiele* gibt es viele. Obiges trifft nicht auf algebraische Zahlen zu, also auch nicht auf √2, weil sie zum Beispiel als Grenzwerte von (endlich) rekursiv definierbaren Folgen rationaler Zahlen beschreibbar sind.
die Zahl [latex]\sqrt[3]{\sqrt 5 + 1}[/latex] ist beschrieben durch: wende den √-Operator auf 5 an, addiere 1 dazu und wende auf das Ergebnis den ∛-Operator an.
Jetzt drehen wir uns langsam im Kreis, denke ich. Wenn man die Funktion √ so definiert, wie die meisten Leute das tun, ist das
Eine Gleichung, deren eine Lösung diese Zahl wäre, ist bei der Beschreibung nicht im Spiel
falsch. Wenn man sie anders definiert, z.B. wie oben durch Limiten rationaler Folgen, dann stimmt das. Das waere aber eher ungewoehnlich und ich glaube nicht, dass Du soetwas hier in der ganzen Argumentation implizit gemeint hast.
(Ohne jetzt genervt klingen zu wollen - ich muss jetzt mal gerade etwas ausklinken, weil ich gerade nicht viel Zeit hab. Wenn's noch was gibt, werd ich heute wohl nicht mehr antworten (koennen).)
Viele Gruesse,
der Bademeister
Tach,
Jetzt drehen wir uns langsam im Kreis, denke ich. Wenn man die Funktion √ so definiert, wie die meisten Leute das tun, ist das
Eine Gleichung, deren eine Lösung diese Zahl wäre, ist bei der Beschreibung nicht im Spiel
falsch. Wenn man sie anders definiert, z.B. wie oben durch Limiten rationaler Folgen, dann stimmt das.
diese unterschiedlichen Definitionen sind allerdings alle äquivalent; nur weil eine die logisch naheliegendste ist, muss man sie ja nicht als einzige Wahrheit akzeptieren.
mfg
Woodfighter
@@Bademeister:
nuqneH
Lösung von x^2 = 2:
x = "das Bild der Zahl 2 unter der Umkehrfunktion[1] der Quadratfunktion (a.k.a. Wurzelfunktion)
[1] oder besser: *einer* Umkehrfunktion
Gut, nehmen wir die positive.
das ich leider nicht genau berechnen kann"
?? √2 _ist_ der genaue Wert.
Wenn du nur endliche oder periodische Dezimalbrüche als genaue Werte ansiehst, sind reelle Zahlen für dich wohl imaginär? ;-)
Qapla'
Hi Gunnar.
?? √2 _ist_ der genaue Wert.
Ich weiß nicht, ob "Wert" das Gleiche wie "Zahl" bedeutet - √2 _ist_ die genaue Zahl, ja.
Und wenn ich ne Funktion [latex] f: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}, x \mapsto \frac{\log x}{x}[/latex] definiere, dann _ist_ [latex] f^{-1}\left( \frac{\log a}{a} \right)[/latex]
eine genaue Lösung in der anderen Gleichung (für positives a und geeignete Umkehrfunktion, i.a. hat die Gleichung zwei positive Lösungen)
Was war denn dann jetzt eigentlich die Frage?
Viele Grüße,
der Bademeister
@@Bademeister:
nuqneH
Ich weiß nicht, ob "Wert" das Gleiche wie "Zahl" bedeutet - √2 _ist_ die genaue Zahl, ja.
√2 ist eine Zahl. Oder ein Zahlenwert, wie immer du das nennen willst. Schon deshalb würdest du deine Wette verlieren.
[latex] f^{-1}\left( \frac{\log a}{a} \right)[/latex]
Das ist keine Angabe eines Zahlenwertes.
Qapla'
√2 ist eine Zahl. Oder ein Zahlenwert, wie immer du das nennen willst. »»
[latex] f^{-1}\left( \frac{\log a}{a} \right)[/latex]
Das ist keine Angabe eines Zahlenwertes.
Kannst Du dann auch verraten, was der Unterschied zwischen den beiden Faellen sein soll? Ich sehe keinen.
Viele Gruesse
der Bademeister
Tach,
Kannst Du dann auch verraten, was der Unterschied zwischen den beiden Faellen sein soll? Ich sehe keinen.
die Wurzelfunktion ist nicht zwingend als Umkehrfunktion der Potenz definiert, z.B. [latex]\sqrt{x} = e^{\frac{\ln{x}}{2}}[/latex] ist eine Alternative.
mfg
Woodfighter
Hi Wouzhuo.
Nun stelle ich mir die Frage: woran liegt das? Wieso kann man bestimmte Funktionen exakt bestimmen
?? Was meinst Du damit? Meinst Du "Nullstellen von Funktionen exakt bestimmen"? Oder "Gleichungen exakt lösen"? Oder...?
Beides.
Ein ähnliches Problem hat man ja z.B. auch bei Polynomen. Wieso kann man denn Ganzrationale Funktionen vom Grad 1 bis 4 exakte analytische Lösungsformeln angeben [...]
Kann man das? Was ist denn eine Lösungsformel für die Gleichung x^2 = 2?
Es kommt halt immer etwas drauf an, was man unter "exakte [...] Lösungsformel" versteht. Umkehrfunktionen einzuführen und so zu tun, als seien sie "exakt", ist i.a. nun mal gemogelt. :-)
Stimmt. Jetzt wo du das sagst, komm ich mir irgendwie blöd vor. Die Wurzelfunktion ist ja auch nur z.B. als unendlicher Kettenbruch darstellbar.
Das ist ja doof. Das macht mir die Mathematik ehrlich gesagt recht unsympathisch, wenn man da in allen Fällen, die über das Triviale hinausgehen sowieso nur noch annährungen verwendet. sogar x = 2/3 ist ja nur durch eine Annährung als eine Zahl darstellbar.
Tach,
Das ist ja doof. Das macht mir die Mathematik ehrlich gesagt recht unsympathisch, wenn man da in allen Fällen, die über das Triviale hinausgehen sowieso nur noch annährungen verwendet.
das ist in der angewandten Mathematik häufig üblich, aber das muss einen nicht abschrecken: Zum ersten gibt es in der reinen Mathematik genug (nichttriviales) zu lernen, zum anderen lernt man damit umzugehen, dass man das Dreikörperproblem nicht lösen muss, um einen Mann auf den Mond zu schießen. Außerdem sollte man nicht den Fehler machen Spezialfälle als Trivialitäten darzustellen.
sogar x = 2/3 ist ja nur durch eine Annährung als eine Zahl darstellbar.
2/3 ist eine Zahl. Die Dezimaldarstellung, die wir im Alltag gerne verwenden, hat den Nachteil nicht alle Zahlen exakt abbilden zu können.
mfg
Woodfighter
Tach,
Das ist ja doof. Das macht mir die Mathematik ehrlich gesagt recht unsympathisch, wenn man da in allen Fällen, die über das Triviale hinausgehen sowieso nur noch annährungen verwendet.
das ist in der angewandten Mathematik häufig üblich, aber das muss einen nicht abschrecken: Zum ersten gibt es in der reinen Mathematik genug (nichttriviales) zu lernen, zum anderen lernt man damit umzugehen, dass man das Dreikörperproblem nicht lösen muss, um einen Mann auf den Mond zu schießen. Außerdem sollte man nicht den Fehler machen Spezialfälle als Trivialitäten darzustellen.
Um das Problem aber exakt zu lösen, muss man ggf. auch ein x-körperproblem lösen können. =(
Also ist es wieder nur eine Annährung. Es ist zwar nun nicht schlimm, wenn das Raumschiff 10cm weiter links landet, aber es ist eben nicht exakt.
sogar x = 2/3 ist ja nur durch eine Annährung als eine Zahl darstellbar.
2/3 ist eine Zahl. Die Dezimaldarstellung, die wir im Alltag gerne verwenden, hat den Nachteil nicht alle Zahlen exakt abbilden zu können.
Ist mir schon klar. Ich sagte extra "als _eine_ Zahl" und nicht einfach "als Zahl", weil ich damit ausdrücken wollte, dass die Zahl eben nicht als natürliche Zahl darstellbar ist.
Tach,
Um das Problem aber exakt zu lösen, muss man ggf. auch ein x-körperproblem lösen können. =(
Also ist es wieder nur eine Annährung. Es ist zwar nun nicht schlimm, wenn das Raumschiff 10cm weiter links landet, aber es ist eben nicht exakt.
nein, die äußeren Einflüsse und Messfehler sind _viel_ größer als alles was an Aproximation durch die Numerik passiert. Schon die Behauptung, das Mond-Erde-Sonne-System sei ein Dreikörpersystem, ist so unheimlich vereinfachend, dass der Fehler dadurch um Größenordnungen schlimmer sein wird.
sogar x = 2/3 ist ja nur durch eine Annährung als eine Zahl darstellbar.
2/3 ist eine Zahl. Die Dezimaldarstellung, die wir im Alltag gerne verwenden, hat den Nachteil nicht alle Zahlen exakt abbilden zu können.
Ich sagte extra "als _eine_ Zahl"
Und ich sagte ebenfalls vorsätzlich "eine Zahl".
und nicht einfach "als Zahl", weil ich damit ausdrücken wollte, dass die Zahl eben nicht als natürliche Zahl darstellbar ist.
Natürlich ist sie nicht als natürliche Zahl darstellbar, sie ist schließlich keine natürliche Zahl.
mfg
Woodfighter
P.S. Ich finde es übrigens eine der großartigsten Eigenschaften der Mathematik, dass sie selber ihre Grenzen aufzeigen kann; sie kann eindeutig und für alle Zeit Aussagen über Unbeweisbarkeiten beweisen.
Tach,
Um das Problem aber exakt zu lösen, muss man ggf. auch ein x-körperproblem lösen können. =(
Also ist es wieder nur eine Annährung. Es ist zwar nun nicht schlimm, wenn das Raumschiff 10cm weiter links landet, aber es ist eben nicht exakt.nein, die äußeren Einflüsse und Messfehler sind _viel_ größer als alles was an Aproximation durch die Numerik passiert. Schon die Behauptung, das Mond-Erde-Sonne-System sei ein Dreikörpersystem, ist so unheimlich vereinfachend, dass der Fehler dadurch um Größenordnungen schlimmer sein wird.
Deswegen sagte ich ja auch "x-körperproblem". ;)
Wobei, jaaaaa, wegen der Quantenmechanik würde wohl auch das keine exakte Problembeschreibung darstellen.
Natürlich ist sie nicht als natürliche Zahl darstellbar, sie ist schließlich keine natürliche Zahl.
Immerhin kann man sie noch durch eine endliche Menge an natürlichen Zahlen darstellen. Bei Wurzel(2) hörts aber schon auf mit der endlichen Menge.
P.S. Ich finde es übrigens eine der großartigsten Eigenschaften der Mathematik, dass sie selber ihre Grenzen aufzeigen kann; sie kann eindeutig und für alle Zeit Aussagen über Unbeweisbarkeiten beweisen.
Ich finde es eher trostlos. Aber gut, Ansichstssache.
Tach,
Natürlich ist sie nicht als natürliche Zahl darstellbar, sie ist schließlich keine natürliche Zahl.
Immerhin kann man sie noch durch eine endliche Menge an natürlichen Zahlen darstellen. Bei Wurzel(2) hörts aber schon auf mit der endlichen Menge.
Ich brauche genau eine natürlich Zahl in der Darstellung von Wurzel aus Zwei, das ist ziemlich endlich und sogar deutlich weniger (die Hälfte) als ich für die exakte Darstellung von zwei Dritteln brauche.
mfg
Woodfighter
Tach,
Natürlich ist sie nicht als natürliche Zahl darstellbar, sie ist schließlich keine natürliche Zahl.
Immerhin kann man sie noch durch eine endliche Menge an natürlichen Zahlen darstellen. Bei Wurzel(2) hörts aber schon auf mit der endlichen Menge.
Ich brauche genau eine natürlich Zahl in der Darstellung von Wurzel aus Zwei,
Nein, du brauchst eine Zahl und einen langen krakeligen Strich, namens Wurzel.
das ist ziemlich endlich und sogar deutlich weniger (die Hälfte) als ich für die exakte Darstellung von zwei Dritteln brauche.
Egal in welchem Stellenwertsystem du die Zahl darstellst: du brauchst immer eine unendliche Anzahl an Zahlen.
@@Wouzhuo:
nuqneH
Egal in welchem Stellenwertsystem du die Zahl darstellst: du brauchst immer eine unendliche Anzahl an Zahlen.
Du meinst Anzahl an Ziffern, nicht Anzahl an Zahlen.
Und warum klammerst du an der Annahme, eine Zahl müsse als Dezimalbruch (oder wie immer eine Entsprechung in Systemen zu anderen Basen heißen mag) dargestellt werden?
Die Annahme ist schon für rationale Zahlen nicht sinnvoll: [latex]\tfrac{1}{7}[/latex] ist eine weitaus sinnvolle Darstellung dieser Zahl als [latex]0.\overline{142857}[/latex]
Für irrationale Zahlen ist sie gänzlichlich ungeeignet.
Qapla'
@@Wouzhuo:
nuqneH
Egal in welchem Stellenwertsystem du die Zahl darstellst: du brauchst immer eine unendliche Anzahl an Zahlen.
Du meinst Anzahl an Ziffern, nicht Anzahl an Zahlen.
Und warum klammerst du an der Annahme, eine Zahl müsse als Dezimalbruch (oder wie immer eine Entsprechung in Systemen zu anderen Basen heißen mag) dargestellt werden?
Weil ich nunmal genau diese Darstellung in einem System mittels natürlichen Zahlen meinte. Klar, man kann die Zahl auch mit einem Wurzelzeichen darstellen -> dann hast du aber wieder etwas, was keine Ziffer ist in dieser Zahl.
Die Annahme ist schon für rationale Zahlen nicht sinnvoll: [latex]\tfrac{1}{7}[/latex] ist eine weitaus sinnvolle Darstellung dieser Zahl als [latex]0.\overline{142857}[/latex]
Für irrationale Zahlen ist sie gänzlichlich ungeeignet.
?
@@Wouzhuo:
nuqneH
Weil ich nunmal genau diese Darstellung in einem System mittels natürlichen Zahlen meinte. Klar, man kann die Zahl auch mit einem Wurzelzeichen darstellen -> dann hast du aber wieder etwas, was keine Ziffer ist in dieser Zahl.
Verstehe ehrlich gesagt nicht, was du meinst. Könnte u.a. daran liegen, dass du immer noch den Begriff „Zahl“ fälschlicherweise für „Ziffer“ verwendest.
Für irrationale Zahlen ist sie gänzlichlich ungeeignet.
?
Irrationale Zahlen sind in Dezimalbruchdarstellung unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche. Also keine Chance, solche Zahlen damit (genau!) darzustellen, sondern nur (rationale) Näherungswerte.
Algebrische irrationale Zahlen* lassen sich mit „krakeligen Strichen“ angeben – und zwar genau. Und man gann damit genau rechnen:
[latex]f_3 = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \left( \frac{1 + \sqrt 5}{2} \right)^3 - \left( \frac{1 - \sqrt 5}{2} \right)^3 \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \frac{1 + 3 \sqrt 5 + 15 + 5 \sqrt 5}{8} - \frac{1 - 3 \sqrt 5 + 15 - 5 \sqrt 5}{8} \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \frac{16 \sqrt 5}{8} = 2[/latex]
(3. Glied der Fibonacci-Folge nach Moivre-Binet)
Für spezielle transzendente Zahlen gibt es Symbole; damit lassen sich auch diese genau angeben. Und man kann damit genau rechnen:
[latex]\mathrm e^{i \pi} + 1 = 0[/latex]
Qapla'
* BTW: Die Menge dieser ist abzählbar.
@@Wouzhuo:
nuqneH
Weil ich nunmal genau diese Darstellung in einem System mittels natürlichen Zahlen meinte. Klar, man kann die Zahl auch mit einem Wurzelzeichen darstellen -> dann hast du aber wieder etwas, was keine Ziffer ist in dieser Zahl.
Verstehe ehrlich gesagt nicht, was du meinst. Könnte u.a. daran liegen, dass du immer noch den Begriff „Zahl“ fälschlicherweise für „Ziffer“ verwendest.
Gibt es ein rationale Zahl, für die es kein Stellensystem auf Basis natürlicher Zahlen gibt, sodass diese Zahl exakt dargestellt werden kann?
Wenn nein, dann ist das etwas anderes als mit der Wurzel, dann da (bei den reellen Zahlen) geht das anscheinend nicht.
Für irrationale Zahlen ist sie gänzlichlich ungeeignet.
?
Irrationale Zahlen sind in Dezimalbruchdarstellung unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche. Also keine Chance, solche Zahlen damit (genau!) darzustellen, sondern nur (rationale) Näherungswerte.
Algebrische irrationale Zahlen* lassen sich mit „krakeligen Strichen“ angeben – und zwar genau. Und man gann damit genau rechnen:
[latex]f_3 = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \left( \frac{1 + \sqrt 5}{2} \right)^3 - \left( \frac{1 - \sqrt 5}{2} \right)^3 \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \frac{1 + 3 \sqrt 5 + 15 + 5 \sqrt 5}{8} - \frac{1 - 3 \sqrt 5 + 15 - 5 \sqrt 5}{8} \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \frac{16 \sqrt 5}{8} = 2[/latex]
(3. Glied der Fibonacci-Folge nach Moivre-Binet)Für spezielle transzendente Zahlen gibt es Symbole; damit lassen sich auch diese genau angeben. Und man kann damit genau rechnen:
[latex]\mathrm e^{i \pi} + 1 = 0[/latex]
Qapla'
* BTW: Die Menge dieser ist abzählbar!
Hm..
Tach,
Gibt es ein rationale Zahl, für die es kein Stellensystem auf Basis natürlicher Zahlen gibt, sodass diese Zahl exakt dargestellt werden kann?
nein, gibt es nicht: "Allgemein gilt, dass ein gekürzter Bruch genau dann eine nicht periodische b-adische Darstellung hat, wenn alle Primfaktoren seines Nenners auch Primfaktoren von b sind. (Für eine nicht periodische Darstellung im Dezimalsystem muss der gekürzte Nenner also ein Produkt der Zahlen Zwei und Fünf sein.)" - Darstellung_rationaler_Zahlen
Aber dann mußt du halt mit unendlich vielen Stellenwertsystemen agieren, das ist auch nicht gerade schöner; und es gibt keines in dem alle Dezimalbrüche abbrechend sind.
mfg
Woodfighter
@@Wouzhuo:
nuqneH
Gibt es ein rationale Zahl, für die es kein Stellensystem auf Basis natürlicher Zahlen gibt, sodass diese Zahl exakt dargestellt werden kann?
Jede rationale Zahl m/n (m, n ∈ ℤ; n > 0; m, n teilerfremd) kann in jedem Stellensystem exakt dargestellt werden, da sie als Kommazahl* entweder endlich oder periodisch unendlich ist (maximale Periodenlänge: n - 1).
Du meinstest vermutlich: Gibt es eine rationale Zahl, für die es kein Stellensystem auf Basis natürlicher Zahlen gibt, so dass diese Zahl als endliche Kommazahl dargestellt werden kann?
Nein, gibt es nicht. Die Zahl m/n ist im Stellensystem zur Basis n eine endliche Kommazahl (mit maximal einer Ziffer nach dem Komma):
Es gibt eine eindeutige Zerlegung m = sgn m · k · n + r mit k, r ∈ ℕ; 0 ≤ r < n.
m/n = (sgn m · k · n + r)/n = sgn m · k + r/n
Vorzeichen und k stehen vor dem Komma; r ist die eine(!) Ziffer nach dem Komma (wenn nicht 0).
Andersrum: Im Stellensystem zur Basis b sind alle rationalen Zahlen endliche Kommazahlen, deren Nenner ausschließlich Primfaktoren von b enthalten; alle anderen sind unendliche periodische Kommazahlen.
Im Dezimalsystem sind also alle m/n mit n = 2^a · 5^b; a, b ∈ ℕ endliche Dezimalbrüche.
Qapla'
* Nehmen wir mal diesen Ausdruck, denn „Dezimalbruch“ passt ja nur fürs Dezimalsystem.
Tach,
Nein, du brauchst eine Zahl und einen langen krakeligen Strich, namens Wurzel.
zur Darstellung von 1/3 brauche ich meist auch schon einen zusätzlichen Strich, für die Darstellung von 1/2 einen kurzen, den wir Komma nennen (alle Beispiele dezimal).
Egal in welchem Stellenwertsystem du die Zahl darstellst: du brauchst immer eine unendliche Anzahl an Zahlen.
Ich brauche unendlich viele Ziffern für eine Stellenwertdarstellung mit einer natürlichen Basis, aber ich könnte mir auch vorstellen ein Stellenwertsystem zu Basis [latex]\sqrt{2}[/latex] zu nutzen, dann erhält man zwar sehr unschöne (und sehr viele) Ziffern, kann aber zumindestens [latex]\sqrt{2}[/latex] als [latex]1[/latex] darstellen ;-)
mfg
Woodfighter
Nein, du brauchst eine Zahl und einen langen krakeligen Strich, namens Wurzel.
zur Darstellung von 1/3 brauche ich meist auch schon einen zusätzlichen Strich,
Klar, oder in einem Stellenwertsystem das auf natürlichen Zahlen basiert zumindest einen Punkt. Dennoch nur eine endliche Zahl an Zahlen (oder halt Ziffern).
Egal in welchem Stellenwertsystem du die Zahl darstellst: du brauchst immer eine unendliche Anzahl an Zahlen.
Ich brauche unendlich viele Ziffern für eine Stellenwertdarstellung mit einer natürlichen Basis, aber ich könnte mir auch vorstellen ein Stellenwertsystem zu Basis [latex]\sqrt{2}[/latex] zu nutzen, dann erhält man zwar sehr unschöne (und sehr viele) Ziffern, kann aber zumindestens [latex]\sqrt{2}[/latex] als [latex]1[/latex] darstellen ;-)
D: wenn du so weiter machst, muss ich bald einen Psychiater aufsuchen!
Tach,
zur Darstellung von 1/3 brauche ich meist auch schon einen zusätzlichen Strich,
Klar, oder in einem Stellenwertsystem das auf natürlichen Zahlen basiert zumindest einen Punkt. Dennoch nur eine endliche Zahl an Zahlen (oder halt Ziffern).
nö, unendlich viele Ziffern, abgekürzt nur durch die Periode.
D: wenn du so weiter machst, muss ich bald einen Psychiater aufsuchen!
Kommt ein Nullvektor zum Psychiater: "Herr Doktor, ich bin orientierungslos!"
mfg
Woodfighter
Tach,
zur Darstellung von 1/3 brauche ich meist auch schon einen zusätzlichen Strich,
Klar, oder in einem Stellenwertsystem das auf natürlichen Zahlen basiert zumindest einen Punkt. Dennoch nur eine endliche Zahl an Zahlen (oder halt Ziffern).
nö, unendlich viele Ziffern, abgekürzt nur durch die Periode.
Siehste, hab ich ja gesagt.
D: wenn du so weiter machst, muss ich bald einen Psychiater aufsuchen!
Kommt ein Nullvektor zum Psychiater: "Herr Doktor, ich bin orientierungslos!"
:D
@@Wouzhuo:
nuqneH
sogar x = 2/3 ist ja nur durch eine Annährung als eine Zahl darstellbar.
Nein. Dass die allermeisten von uns mit 10 Fingern geboren werden, sollten man nicht zum Maß aller Dinge machen.
2/3 im Zahlensystem zur Basis 3 ist ein endlicher Trinärbruch: 0.2. Dafür ist im Trinärsystem 1/2 ein unendlicher periodischer Trinärbruch.
Zur Darstellung von Perioden gibt es eine Schreibweise; damit sind diese Zahlen exakt darstellbar.
Mal davon ganz abgesehen, dass auch 2/3 eine exakte Darstellung dieser Zahl ist.
Qapla'
Mal davon ganz abgesehen, dass auch 2/3 eine exakte Darstellung dieser Zahl ist.
Dann ist aber auch Wurzel(5) eine exakte Darstellung dieser Zahl.
Was ich aber meinte waren die natürlichen/ganzen Zahlen. Hab mich schlecht ausgedrückt, sorry.
@@Wouzhuo:
nuqneH
Neulich musste ich feststellen, dass ich nicht in der Lage bin, die Gleichung a^x - x^a = 0 nach x aufzulösen.
Können wir das Problem auf positive reelle a und x mit a > 1 beschränken?
Kann dich dann über die Schwierigkeit der Bestimmung der anderen Lösung nicht hinwegtrösten, dass die eine sehr leicht zu finden ist? ;-)
Qapla'
Nun stelle ich mir die Frage: woran liegt das? Wieso kann man bestimmte Funktionen exakt bestimmen - andere jedoch nicht, obwohl es auch dort eine "exakte" Lösung gibt?
Nur weil man eine Funktion als f(x)=sin(x) hinschreiben kann, ist sie noch lange nicht "exakter" bestimmt, als wenn man f(x)=W(x) schreiben muss. Um daraus letztlich eine Zahl zu bekommen, musst Du den sowohl den sin als auch die besagte W-Funktion numerisch annähern (ersteres nimmt Dir der Taschenrechner Deiner Wahl ab). Einige Funktionen wie sin, sqrt, etc. kommen halt recht häufig vor, weshalb dafür gängige Symbole sowie gängige Implementationen in Taschenrechnern etc. eingeführt wurden.
Andere wie W(x) oder Si(x) sind weniger gängig aber trotzdem noch als Symbol "bekannt". Die meisten Funktionen müssen wohl erst noch "entdeckt" werden, bevor sie ein Symbol bekommen.
Letztendlich ergibt sich eine Funktion immer aus einer irgendwie gearteten Rechenvorschrift, z. B. eine Reihensumme, ein bestimmtes Integral oder eine implizite Gleichung etc.
In Deinem Fall gibt es übrigens - wie auch Gunnar schon anmerkte - eine triviale und geradezu "symmetrische" Speziallösung... ;-)
MfG
Andreas
