Zum Lösen von Gleichungen

[Wouzhuo]

@@Wouzhuo:

nuqneH

Weil ich nunmal genau diese Darstellung in einem System mittels natürlichen Zahlen meinte. Klar, man kann die Zahl auch mit einem Wurzelzeichen darstellen -> dann hast du aber wieder etwas, was keine Ziffer ist in dieser Zahl.

Verstehe ehrlich gesagt nicht, was du meinst. Könnte u.a. daran liegen, dass du immer noch den Begriff „Zahl“ fälschlicherweise für „Ziffer“ verwendest.

Gibt es ein rationale Zahl, für die es kein Stellensystem auf Basis natürlicher Zahlen gibt, sodass diese Zahl exakt dargestellt werden kann?

Wenn nein, dann ist das etwas anderes als mit der Wurzel, dann da (bei den reellen Zahlen) geht das anscheinend nicht.

Für irrationale Zahlen ist sie gänzlichlich ungeeignet.

?

Irrationale Zahlen sind in Dezimalbruchdarstellung unendliche nichtperiodische Dezimalbrüche. Also keine Chance, solche Zahlen damit (genau!) darzustellen, sondern nur (rationale) Näherungswerte.

Algebrische irrationale Zahlen* lassen sich mit „krakeligen Strichen“ angeben – und zwar genau. Und man gann damit genau rechnen:

[latex]f_3 = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \left( \frac{1 + \sqrt 5}{2} \right)^3 - \left( \frac{1 - \sqrt 5}{2} \right)^3 \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \left( \frac{1 + 3 \sqrt 5 + 15 + 5 \sqrt 5}{8} - \frac{1 - 3 \sqrt 5 + 15 - 5 \sqrt 5}{8} \right) = \frac{1}{\sqrt 5} \frac{16 \sqrt 5}{8} = 2[/latex]
(3. Glied der Fibonacci-Folge nach Moivre-Binet)

Für spezielle transzendente Zahlen gibt es Symbole; damit lassen sich auch diese genau angeben. Und man kann damit genau rechnen:

[latex]\mathrm e^{i \pi} + 1 = 0[/latex]

Qapla'

* BTW: Die Menge dieser ist abzählbar!

Hm..