Hallo,
<input id="Eingabe_HTML" onkeyup="Suchfunktion(this.value)"/>
Hier übergibst du den Wert des Eingabefeldes.
function Suchfunktion () {
Hier nimmst du den Wert NICHT entgegen. Diese Funktion nimmt keine Parameter entgegen.
var Wortteil = document.getElementById('Eingabe_HTML');
Stattdessen holst du dir hier das Elementobjekt. Das ist ein Objekt, kein String! Das lässt sich zwar in einen String umwandeln, dabei kommt aber Quatsch wie "[object HTMLInputElement]" heraus.
Willst du den aktuellen Wert lesen, so kannst du die value-Eigenschaft verwenden. Die nutzt du an anderer Stelle ja bereits zu schreiben.
Mathias