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Ihr habt beide recht. Casablanca hat aber in seiner Aufgabenstellung widersprüchliche Ziele formuliert, jeder von euch hat nun eine Lösung für eine der unvereinbaren Aufgabenstellungen erarbeitet. Casablanca spricht einerseits von linearer Interpolation und möchte andererseits ein überstimmtes Gleichungssystem durch eine glatte Funktion approximieren. Im allgemeinen Fall sind das aber verschiedene Funktionen. Beides gleichzeitig ist nur dann zu erreichen, wenn die Messdaten zufälligerweise schon auf einer Gerade liegen.
Ihr beide habt nun Lösungen entwickelt, die die zweite Bedingung erfüllen, also die Glätte beibehalten. Ihr verletzt im Gegenzug jeweils die erste Bedingung, allerdings auf unterschiedliche Weise:
Jörg gibt die Interpolations-Bedingung auf, und versucht das überstimmte Gleichungssystem stattdessen durch eine lineare Approximation, genauer mittels linearer Regression zu lösen. Dabei nimmt er also einen Approximations-Fehler in Kauf. D.h. dass die lineare Regression ausgewertet an den ursprünglichen Stützstellen, nicht mehr den Messwerten entspricht. Mit der Wahl für lineare Regression, geht Jörg außerdem implizit davon aus, dass der Approximations-Fehler in der euklidishen Norm minmiert werden soll. Das kann man wieder in Frage stellen, aber die Wahl ist häufig sinnvoll.
Student hingegen hat sich entschieden, die Interpolations-Bedingung zu wahren und stattdessen die Linearität aufzugeben. Er abstrahiert deshalb über den Polynomgrad und lässt auch Polynome höheren Grades zu.
Eine dritte Lösungsmöglichkeit bestünde darin, die Glätte aufzugeben, und dafür die lineare Interpolation beizubehalten. Dann ergibt sich ein Graph, den Jörg hier schon öfter als zackig beschrieben hat.
Bevor wir aber weiter ins Detail gehen und versuchen bestimmte Eigenschaften zu optmieren, wäre es sinnvoll von Casablanca zu hören, was er eigentlich erreichen möchte. Wenn du mit dem mathematischen Geschwafel nicht so viel anfangen kannst, dann zeig uns doch mal eine Skizze, in der du die Messdaten und die angenäherte Funkton einzeichnest, das muss nicht hunterprozentig exakt sein, aber es sollte schematisch erkennbar sein, ob die Funktion genau durch die Messpunkte führen muss, ob die Funktion Ecken haben darf, oder ob sie schön geschwungen sein muss. Außerdem wäre es noch hilfreich zu wissen, ob während der Lebensdauer deines Programms mit neuen Messdaten zu rechnen ist, dann stellt sich nämlich ggf. auch die Frage, ob einmal berechnete Zwischenwerte auch neu berechnet werden dürfen, wenn ein neuer Messpunkt hinzukommt, oder ob er möglichst immer unverändert bleiben soll.
Tabellenkalk
Der Martin
Camping_RIDER