@@Matthias Apsel Ist ja rege Beteiligung hier. Da sich das Wochenende dem Ende neigt, präsentiere mal meinen Beweis. Gleich den für die allgemeine, oder wie Matthias sagte die Bittersmann-Variante: > b) - Die Bittersmann-Variante: Man beweise, dass das Dreieck _MPQ_ stets rechtwinklig-gleichschenklig ist.  Seien _M_, _K_ und _L_ die Mittelpunkte der Seiten _AB_, _BC_ und _AC_. Deren Verbindungen teilen das Dreieck _ABC_ in vier kongruente Dreiecke. Es gilt _ML_ = _BK_, _MK_ = _AL_ und ∠_MLA_ = ∠_BKM_ = ∠_LMK_ = _γ_. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig sein soll, muss _P_ auf der Mittelsenkrechten von _BC_ durch _K_ liegen. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig-rechtwinklig sein soll (mit rechtem Winkel bei _P_), muss auch das Dreieck _BPK_ gleichschenklig-rechtwinklig sein (mit rechtem Winkel bei _K_), es gilt _BK_ = _KP_. Entsprechend liegt _Q_ auf der Mittelsenkrechten von _AC_ durch _L_, es gilt _AL_ = _LQ_. Damit gilt auch _KP_ = _ML_ und _MK_ = _LQ_. Außerdem ist ∠_PKM_ = ∠_MLQ_ = _γ_ + 1∟. Damit sind die Dreiecke _MPK_ und _MLQ_ kongruent, woraus _MP_ = _MQ_ folgt. Das Dreieck _MPQ_ ist somit gleichschenklig. Desweiteren folgt ∠_MPK_ = ∠_QML_ = _φ_ sowie ∠_KMP_ = ∠_LQM_ = _ψ_. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck _MPK_ (bzw. _MLQ_) gilt _φ_ + _ψ_ + _γ_ + 1∟ = 2∟, folglich _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟. Nun ist ebenfalls ∠_QMP_ = _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟, das Dreieck _MPQ_ ist somit rechtwinklig. LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Matthias Apsel Ist ja rege Beteiligung hier. Da sich das Wochenende dem Ende neigt, präsentiere mal meinen Beweis. Gleich den für die allgemeine, oder wie Matthias sagte die Bittersmann-Variante: > b) - Die Bittersmann-Variante: Man beweise, dass das Dreieck _MPQ_ stets rechtwinklig-gleichschenklig ist.  Seien _M_, _K_ und _L_ die Mittelpunkte der Seiten _AB_, _BC_ und _AC_. Deren Verbindungen teilen das Dreieck _ABC_ in vier kongruente Dreiecke. Es gilt _ML_ = _BK_, _MK_ = _AL_ und ∠_MLA_ = ∠_BKM_ = ∠_LMK_ = _γ_. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig sein soll, muss _P_ auf der Mittelsenkrechten von _BC_ durch _K_ liegen. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig-rechtwinklig sein soll (mit rechtem Winkel bei _P_), muss auch das Dreieck _BPK_ gleichschenklig-rechtwinklig sein (mit rechtem Winkel bei _K_), es gilt _BK_ = _KP_. Entsprechend liegt _Q_ auf der Mittelsenkrechten von _AC_ durch _L_, es gilt _AL_ = _LQ_. Damit gilt auch _KP_ = _ML_ und _MK_ = _LQ_. Außerdem ist ∠_PKM_ = ∠_MLQ_ = _γ_ + 1∟. Damit sind die Dreiecke _MPK_ und _MLQ_ kongruent, woraus _MP_ = _MQ_ folgt. Das Dreiceck _MPQ_ ist somit gleichschenklig. Desweiteren folgt ∠_MPK_ = ∠_QML_ = _φ_ sowie ∠_KMP_ = ∠_LQM_ = _ψ_. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck _MPK_ (bzw. _MLQ_) gilt _φ_ + _ψ_ + _γ_ + 1∟ = 2∟, folglich _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟. Nun ist ebenfalls ∠_QMP_ = _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟, das Dreieck _MPQ_ ist somit rechtwinklig. LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Matthias Apsel Ist ja rege Beteiligung hier. Da sich das Wochenende dem Ende neigt, präsentiere mal meinen Beweis. Gleich den für die allgemeine, oder wie Matthias sagte die Bittersmann-Variante: > b) - Die Bittersmann-Variante: Man beweise, dass das Dreieck _MPQ_ stets rechtwinklig-gleichschenklig ist.  Seien _M_, _K_ und _L_ die Mittelpunkte der Seiten _AB_, _BC_ und _AC_. Deren Verbindungen teilen das Dreieck _ABC_ in vier kongruente Dreiecke. Es gilt _ML_ = _BK_, _MK_ = _AL_ und ∠_MLA_ = ∠_BKM_ = _γ_. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig sein soll, muss _P_ auf der Mittelsenkrechten von _BC_ durch _K_ liegen. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig-rechtwinklig sein soll (mit rechtem Winkel bei _P_), muss auch das Dreieck _BPK_ gleichschenklig-rechtwinklig sein (mit rechtem Winkel bei _K_), es gilt _BK_ = _KP_. Entsprechend liegt _Q_ auf der Mittelsenkrechten von _AC_ durch _L_, es gilt _AL_ = _LQ_. Damit gilt auch _KP_ = _ML_ und _MK_ = _LQ_. Außerdem ist ∠_PKM_ = ∠_MLQ_ = _γ_ + 1∟. Damit sind die Dreiecke _MPK_ und _MLQ_ kongruent, woraus _MP_ = _MQ_ folgt. Das Dreiceck _MPQ_ ist somit gleichschenklig. Desweiteren folgt ∠_MPK_ = ∠_QML_ = _φ_ sowie ∠_KMP_ = ∠_LQM_ = _ψ_. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck _MPK_ (bzw. _MLQ_) gilt _φ_ + _ψ_ + _γ_ + 1∟ = 2∟, folglich _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟. Nun ist ebenfalls ∠_QMP_ = _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟, das Dreieck _MPQ_ ist somit rechtwinklig. LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Matthias Apsel Ist ja rege Beteiligung hier. Da sich das Wochenende dem Ende neigt, präsentiere mal meinen Beweis. Gleich den für die allgemeine, oder wie Matthias sagte die Bittersmann-Variante: > b) - Die Bittersmann-Variante: Man beweise, dass das Dreieck _MPQ_ stets rechtwinklig-gleichschenklig ist.  Seien _M_, _K_ und _L_ die Mittelpunkte der Seiten _AB_, _BC_ und _AC_. Deren Verbindungen teilen das Dreieck _ABC_ in vier kongruente Dreiecke. Es gilt _ML_ = _BK_, _MK_ = _AL_ und ∠_MLA_ = ∠_BKM_ = _γ_. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig sein soll, muss _P_ auf der Mittelsenkrechten von _BC_ durch _K_ liegen. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig-rechtwinklig sein soll (mit rechtem Winkel bei _P_), muss auch das Dreieck _BPK_ gleichschenklig-rechtwinklig sein (mit rechtem Winkel bei _K_), es gilt _BK_ = _KP_. Entsprechend liegt _Q_ auf der Mittelsenkrechten von _AC_ durch _L_, es gilt _AL_ = _LQ_. Damit gilt auch _KP_ = _ML_ und _MK_ = _LQ_. Außerdem ist ∠_PKM_ = ∠_MLQ_ = _γ_ + 1∟. Damit sind die Dreiecke _MPK_ und _MLQ_ kongruent, woraus _MP_ = _MQ_ folgt. Das Dreiceck _MPQ_ ist somit gleichschenklig. Desweiteren folgt ∠_MPK_ = ∠_QML_ = _φ_ sowie ∠_KMP_ = ∠_LQM_ = _ψ_. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck _MPK_ (bzw. _MLQ_) gilt _φ_ + _ψ_ + _γ_ + 1∟ = 2∟, folglich _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟. Nun ist ebenfalls ∠_QMP_ = _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟, das Dreiceck _MPQ_ ist somit rechtwinklig. LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Matthias Apsel Ist ja rege Beteiligung hier. Da sich das Wochenende dem Ende neigt, präsentiere mal meinen Beweis. Gleich den für die allgemeine, oder wie Matthias sagte die Bittersmann-Variante: > b) - Die Bittersmann-Variante: Man beweise, dass das Dreieck _MPQ_ stets rechtwinklig-gleichschenklig ist.  Seien _M_, _K_ und _L_ die Mittelpunkte der Seiten _AB_, _BC_ und _AC_. Deren Verbindungen teilen das Dreieck _ABC_ in vier kongruente Dreiecke. Es gilt _ML_ = _BK_, _MK_ = _AL_ und ∠_MLA_ = ∠_BKM_ = _γ_. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig sein soll, muss _P_ auf der Mittelsenkrechten von _BC_ durch _K_ liegen. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig-rechtwinklig sein soll (mit rechtem Winkel bei _P_), muss auch das Dreieck _BPK_ gleichschenklig-rechtwinklig sein (mit rechtem Winkel bei _K_), es gilt _BK_ = _KP_. Entsprechend liegt _Q_ auf der Mittelsenkrechten von _AC_ durch _L_, es gilt _AL_ = _LQ_. Damit gilt auch _KP_ = _ML_ und _MK_ = _LQ_. Außerdem ist ∠_PKM_ = ∠_MLQ_ = _γ_ + 1∟. Damit sind die Dreiecke _MPK_ und _MLQ_ kongruent, woraus _MP_ = _MQ_ folgt. Das Dreiceck _MPQ_ ist somit gleichschenklig. Deweiteren folgt ∠_MPK_ = ∠_QML_ = _φ_ sowie ∠_KMP_ = ∠_LQM_ = _ψ_. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck _MPK_ (bzw. _MLQ_) gilt _φ_ + _ψ_ + _γ_ + 1∟ = 2∟, folglich _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟. Nun ist ebenfalls ∠_QMP_ = _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟, das Dreiceck _MPQ_ ist somit rechtwinklig. LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

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@@Matthias Apsel Ist ja rege Beteiligung hier. Da sich das Wochenende dem Ende neigt, präsentiere mal meinen Beweis. Gleich den für die allgemeine, oder wie Matthias sagte die Bittersmann-Variante: > b) - Die Bittersmann-Variante: Man beweise, dass das Dreieck _MPQ_ stets rechtwinklig-gleichschenklig ist. [Skizze] Seien _M_, _K_ und _L_ die Mittelpunkte der Seiten _AB_, _BC_ und _AC_. Deren Verbindungen teilen das Dreieck _ABC_ in vier kongruente Dreiecke. Es gilt _ML_ = _BK_, _MK_ = _AL_ und ∠_MLA_ = ∠_BKM_ = _γ_. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig sein soll, muss _P_ auf der Mittelsenkrechten von _BC_ durch _K_ liegen. Da das Dreieck _BPC_ gleichschenklig-rechtwinklig sein soll (mit rechtem Winkel bei _P_), muss auch das Dreieck _BPK_ gleichschenklig-rechtwinklig sein (mit rechtem Winkel bei _K_), es gilt _BK_ = _KP_. Entsprechend liegt _Q_ auf der Mittelsenkrechten von _AC_ durch _L_, es gilt _AL_ = _LQ_. Damit gilt auch _KP_ = _ML_ und _MK_ = _LQ_. Außerdem ist ∠_PKM_ = ∠_MLQ_ = _γ_ + 1∟. Damit sind die Dreiecke _MPK_ und _MLQ_ kongruent, woraus _MP_ = _MQ_ folgt. Das Dreiceck _MPQ_ ist somit gleichschenklig. Deweiteren folgt ∠_MPK_ = ∠_QML_ = _φ_ sowie ∠_KMP_ = ∠_LQM_ = _ψ_. Wegen der Innenwinkelsumme im Dreieck _MPK_ (bzw. _MLQ_) gilt _φ_ + _ψ_ + _γ_ + 1∟ = 2∟, folglich _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟. Nun ist ebenfalls ∠_QMP_ = _φ_ + _ψ_ + _γ_ = 1∟, das Dreiceck _MPQ_ ist somit rechtwinklig. LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl