@@Matthias Apsel > > In ein bei _C_ rechtwinkliges Dreieck _ABC_ wird ein Quadrat einbeschrieben. (siehe [Skizze](https://www.geogebra.org/m/sqcxZu6J)) > > > > Bestimme eine Gleichung für die Seitenlänge _q_ des Quadrats in Abhängigkeit der Kathetenlängen _a_ und _b_. Über den Strahlensatz kommt man wie gesagt auch dahin, aber ein rechtwinkliges Dreieck ist prädestiniert dafür, so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem gelegt zu werden, dass der Scheitel des rechten Winkels im Ursprung und die Katheten auf den positiven Teilen der Achsen liegen:  Die Geradengleichung der Hypotenuse ist dann $$y = -\frac{b}{a} x + b$$ Das Quadrat hat dann ebenfalls zwei Seiten auf den Achsen des Koordinatensystems und einen Eckpunkt in dessen Urprung. Der diesem gegenüberliegende Eckpungt liegt auf der Geraden $$y = x$$, folglich $$x = -\frac{b}{a} x + b$$, was für $$x = \frac{ab}{a + b} = q$$ erfüllt wird. > Wenn man _q_ bestimmt hat, ist es relativ leicht zu zeigen, dass das Quadrat höchstens halb so groß wie das Dreieck ist. > > Wie? Für alle positiven _a_, _b_ gilt $$\qquad\qquad\quad 0 \le ab \left( a - b \right) ^2 = ab \left( a^2 - 2ab + b^2 \right)$$ Durch Addition von 4_a_²_b_² erhält man $$\quad 4a^2b^2 \le ab \left( a^2 + 2ab + b^2 \right) = ab \left( a + b \right) ^2$$ Die Division durch 4(_a_ + _b_)² > 0 ergibt $$\quad q^2 = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right) ^2} \le \frac{1}{4} ab$$ Auf der linken Seite steht nun gerade die Fläche des Quadrats; auf der rechten die Hälfte der Fläche des Dreiecks. > Geht das auch ohne Kenntnis von _q_? Ja. Und das ist dann auch einfacher: [geometrisch](https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1677886#m1677886). LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl

@@Matthias Apsel > > In ein bei _C_ rechtwinkliges Dreieck _ABC_ wird ein Quadrat einbeschrieben. (siehe [Skizze](https://www.geogebra.org/m/sqcxZu6J)) > > > > Bestimme eine Gleichung für die Seitenlänge _q_ des Quadrats in Abhängigkeit der Kathetenlängen _a_ und _b_. Über den Strahlensatz kommt man wie gesagt auch dahin, aber ein rechtwinkliges Dreieck ist prädestiniert dafür, so in ein rechtwinkliges Koordinatensystem gelegt zu werden, dass der Scheitel des rechten Winkels im Ursprung und die Katheten auf den positiven Teilen der Achsen liegen: [Skizze folgt] Die Geradengleichung der Hypotenuse ist dann $$y = -\frac{b}{a} x + b$$ Das Quadrat hat dann ebenfalls zwei Seiten auf den Achsen des Koordinatensystems und einen Eckpunkt in dessen Urprung. Der diesem gegenüberliegende Eckpungt liegt auf der Geraden $$y = x$$, folglich $$x = -\frac{b}{a} x + b$$, was für $$x = \frac{ab}{a + b} = q$$ erfüllt wird. > Wenn man _q_ bestimmt hat, ist es relativ leicht zu zeigen, dass das Quadrat höchstens halb so groß wie das Dreieck ist. > > Wie? Für alle positiven _a_, _b_ gilt $$\qquad\qquad\quad 0 \le ab \left( a - b \right) ^2 = ab \left( a^2 - 2ab + b^2 \right)$$ Durch Addition von 4_a_²_b_² erhält man $$\quad 4a^2b^2 \le ab \left( a^2 + 2ab + b^2 \right) = ab \left( a + b \right) ^2$$ Die Division durch 4(_a_ + _b_)² > 0 ergibt $$\quad q^2 = \frac{a^2b^2}{\left( a + b \right) ^2} \le \frac{1}{4} ab$$ Auf der linken Seite steht nun gerade die Fläche des Quadrats; auf der rechten die Hälfte der Fläche des Dreiecks. > Geht das auch ohne Kenntnis von _q_? Ja. Und das ist dann auch einfacher: [geometrisch](https://forum.selfhtml.org/self/2016/oct/21/mathematik-zum-wochenende/1677886#m1677886). LLAP 🖖 -- _“I love to go to JS conferences to speak about how to avoid using JavaScript. Please learn CSS & HTML to reduce your JS code bloat.”_{: lang="en"} —Estelle Weyl