Mathematik zum Wochenende

[Der-Dennis]

Hallo Matthias,

Eine Fallunterscheidung hilft weiter.

• alle Zahlen sind gleich -> trivial
• zwei Zahlen sind gleich -> das ist mit deinem Ansatz auch (fast) trivial
• die Zahlen sind paarweise verschieden

braucht man denn überhaupt eine Fallunterscheidung? Ich hab's gerade mal mit der „Bauernmethode“ versucht (so hat unser Lehrer das früher immer genannt, wenn wir irgendwas nicht mathematisch komplett konform oder nicht in seinem Sinne gemacht haben), nachdem Du meinen Ehrgeiz geweckt hast ;-) Irgendwie ist es manchmal schon schade, dass man Mathematik nur noch nebenbei macht und vieles einfach vergisst.

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$

Falls ich da keinen Fehler gemacht habe, müsste das also sogar für alle reellen Zahlen gelten und die Einschränkungen in der Aufgabe müssten nicht mal sein!? Oder wo ich hab ich meinen Denkfehler?

Schöne Aufgabe!

Gruß
Dennis