Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo Der-Dennis,

braucht man denn überhaupt eine Fallunterscheidung? Ich hab's gerade mal mit der „Bauernmethode“ versucht (so hat unser Lehrer das früher immer genannt, wenn wir irgendwas nicht mathematisch komplett konform oder nicht in seinem Sinne gemacht haben), nachdem Du meinen Ehrgeiz geweckt hast ;-) Irgendwie ist es manchmal schon schade, dass man Mathematik nur noch nebenbei macht und vieles einfach vergisst.

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$

Ja, das ist geschickter als mein Beweis.

Falls ich da keinen Fehler gemacht habe, müsste das also sogar für alle reellen Zahlen gelten und die Einschränkungen in der Aufgabe müssten nicht mal sein!? Oder wo ich hab ich meinen Denkfehler?

Mein Beweis gilt auch für alle reellen Zahlen, wo ich so drüber nachdenke. Die Aufgabe ist nicht von mir, ich weiß also nicht, warum die Einschränkungen da gemacht wurden. Aber sie hat mir auch gefallen.

Bis demnächst
Matthias