Mathematik zum Wochenende

[j4nk3y]

Salve,

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2*(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc) \geq 2*0 $$
$$ \Longleftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+a^2+b^2+b^2+c^2+c^2-2ab-2ac-2bc \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2 \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2ac+c^2)+(b^2-2bc+c^2) \geq 0 $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\geq 0}+\underbrace{(a-c)^2}{\geq 0}+\underbrace{(b-c)^2}_{\geq 0} \geq 0 \qquad , \qquad ∀;a,b,c∈\mathbb{R} $$

Schicker Beweis :) Leider hab ich es zu Spät gesehn...

Gruß Jo