Mathematik zum Wochenende

[Rolf b]

Die Verdoppelung ist ziemlich schlau :)

Da Du nicht quadrierst und nicht mit den Variablen multiplizierst, sehe ich ebenfalls keinen Grund, die Variablen auf die nichtnegativen reellen Zahlen zu beschränken. Vielleicht wollte der Aufgabensteller Panik vermeiden, denn wenn man nicht auf den Verdopplertrick kommt, dann fängt man die wilden Fallunterscheidungen mit positiv und negativ an.

Ich hab's gerade mit den vier Fällen $$ a = b = c $$, $$ a > b = c $$, $$ a = b > c $$ und $$ a > b > c $$ durchgerechnet. Fall 1 ist trivial, Fall 2 und Fall 3 laufen schnell auf $$ (a-b)^2\geq 0 $$ und $$(a-c)^2 \geq 0 $$ hinaus. Fall 4 habe ich dann so gerechnet:

$$ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc $$
$$ \Longleftrightarrow a^2+b^2+c^2 -2ab-c^2 \geq ab+ac+bc -2ab-c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow a^2-2ab + b^2 +c^2 -c^2 \geq ac-ab+bc -c^2 $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)+c(b -c) $$
$$ \Longleftrightarrow (a-b)^2 \geq a(c-b)-c(c -b) $$
$$ \Longleftrightarrow \underbrace{(a-b)^2}{\gt0} \geq \underbrace{(a-c)}{\gt0}\underbrace{(c-b)}_{\lt0} $$

Und jetzt steht links eine positive Zahl, rechts eine negative Zahl (weil a>c und b>c) und damit sind die vier Fälle bewiesen. Wenn man jetzt negative a,b,c, zulässt, wird es vermutlich auf ähnliche Rechnungen hinauslaufen, aber man muss eben alle 8 Kombinationen von negativ und nichtnegativ durchkauen.

Der Verdopplertrick ist dagegen VIEL eleganter :) Grats dazu.

Rolf