@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also *h* > *h*₁ oder *h* = *h*₁ gilt. Aus Symmetriegründen muss das größtmögliche Sechseck so liegen, dass sein Mittelpunkt mit dem des Quadrats zusammenfällt. Wir gehen von einem Sechseck der Kantenlänge ½*s* aus, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis mit dem Radius *r* = ½*s* liegen. Wir legen es anfangs so, dass zwei Eckpunkte auf den Mittelpunkten zweier Quadratseiten liegen: [](/images/42f84092-935d-440c-ba63-dd57b673624d.png) Man kann das Sechseck nun um den Mittelpunkt drehen, dabei bleiben seine Eckpunkte auf dem Kreis. Nach 60° sieht es aus wie am Anfang. Wir müssen also nicht Drehwinkel von 0° bis 360° betrachten, sondern nur einen Bereich von 0° bis 60°. Oder von −30° bis 30°. Bei einem negativen Drehwinkel −*ϕ* sieht die Figur genauso aus wie um +*ϕ* gedreht und an der Achse gespiegelt. Wir müssen o.B.d.A. also nur *ϕ* im Bereich 0° bis 30° betrachten. Wenn wir das Sechseck um *ϕ* drehen, ergibt sich folgendes Bild: [](/images/cd1ecbaa-d30f-4894-91d6-a73c2e2ad7fd.png) Den Faktor, um den das Sechseck noch um den Mittelpunkt gestreckt werden kann, wird von dem am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt bestimmt. Aus Symmentriegründen genügt die Betrachtung dreier Punkte *A*, *B*, *C*. Im betrachten Bereich für *ϕ* ist *C* stets der am weitesten vom Quadrat entfernteste der Punkte, spielt also im Weiteren keine Rolle. Die Schnittpunkt von *OA* mit dem Quadrat sei *P*, der Schnittpunkt von *OB* mit dem Quadrat sei *Q*. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *A* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_A = \frac{OP}{OA}$$. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *B* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_B = \frac{OQ}{OB}$$. Der Faktor *k*, um den das Sechseck tatsächlich gestreckt werden kann, ist der kleinere der beiden Werte, $$k = \min\left( k_A, k_B \right)$$. Davon suchen wir das größtmögliche *k*. Durch die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich: $$\begin{align}\cos \varphi &= \frac{r}{OP} = \frac{1}{k_A}\\ \cos \left(30°-\varphi\right) &= \frac{r}{OQ} = \frac{1}{k_B}\end{align}$$ Bei den Kehrwerten suchen wir das kleinstmögliche $$\frac{1}{k} = \max\left( \frac{1}{k_A}, \frac{1}{k_B} \right) = \max\left( \cos \varphi, \cos \left(30°-\varphi\right) \right)$$. Dazu schauen wir uns den Verlauf der Funktionen cos *ϕ* und cos(30° − *ϕ*) an: [](/images/583212d9-e86e-476a-a6de-4e1411938cf7.jpeg) Der kleinstmögliche Wert für 1/*k* (also der größtmögliche für *k*) ist dort, wo sich die Funktionsgraphen kreuzen – bei *ϕ* = 15°. Dann liegen *A* und *B* symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats, *C* liegt auf der anderen. Die im vorherigen Posting beschriebene Anordnung ergibt also tatsächlich das größtmögliche Sechseck. [](/images/96511fd1-415d-4037-91a9-9a6dababbb70.png) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also *h* > *h*₁ oder *h* = *h*₁ gilt. Aus Symmetriegründen muss das größtmögliche Sechseck so liegen, dass sein Mittelpunkt mit dem des Quadrats zusammenfällt. Wir gehen von einem Sechseck der Kantenlänge ½*s* aus, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis mit dem Radius *ϱ* = ½*s* liegen. Wir legen es anfangs so, dass zwei Eckpunkte auf den Mittelpunkten zweier Quadratseiten liegen: [](/images/42f84092-935d-440c-ba63-dd57b673624d.png) Man kann das Sechseck nun um den Mittelpunkt drehen, dabei bleiben seine Eckpunkte auf dem Kreis. Nach 60° sieht es aus wie am Anfang. Wir müssen also nicht Drehwinkel von 0° bis 360° betrachten, sondern nur einen Bereich von 0° bis 60°. Oder von −30° bis 30°. Bei einem negativen Drehwinkel −*ϕ* sieht die Figur genauso aus wie um +*ϕ* gedreht und an der Achse gespiegelt. Wir müssen o.B.d.A. also nur *ϕ* im Bereich 0° bis 30° betrachten. Wenn wir das Sechseck um *ϕ* drehen, ergibt sich folgendes Bild: [](/images/cd1ecbaa-d30f-4894-91d6-a73c2e2ad7fd.png) Den Faktor, um den das Sechseck noch um den Mittelpunkt gestreckt werden kann, wird von dem am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt bestimmt. Aus Symmentriegründen genügt die Betrachtung dreier Punkte *A*, *B*, *C*. Im betrachten Bereich für *ϕ* ist *C* stets der am weitesten vom Quadrat entfernteste der Punkte, spielt also im Weiteren keine Rolle. Die Schnittpunkt von *OA* mit dem Quadrat sei *P*, der Schnittpunkt von *OB* mit dem Quadrat sei *Q*. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *A* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_A = \frac{OP}{OA}$$. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *B* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_B = \frac{OQ}{OB}$$. Der Faktor *k*, um den das Sechseck tatsächlich gestreckt werden kann, ist der kleinere der beiden Werte, $$k = \min\left( k_A, k_B \right)$$. Davon suchen wir das größtmögliche *k*. Durch die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich: $$\begin{align}\cos \varphi &= \frac{r}{OP} = \frac{1}{k_A}\\ \cos \left(30°-\varphi\right) &= \frac{r}{OQ} = \frac{1}{k_B}\end{align}$$ Bei den Kehrwerten suchen wir das kleinstmögliche $$\frac{1}{k} = \max\left( \frac{1}{k_A}, \frac{1}{k_B} \right) = \max\left( \cos \varphi, \cos \left(30°-\varphi\right) \right)$$. Dazu schauen wir uns den Verlauf der Funktionen cos *ϕ* und cos(30° − *ϕ*) an: [](/images/583212d9-e86e-476a-a6de-4e1411938cf7.jpeg) Der kleinstmögliche Wert für 1/*k* (also der größtmögliche für *k*) ist dort, wo sich die Funktionsgraphen kreuzen – bei *ϕ* = 15°. Dann liegen *A* und *B* symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats, *C* liegt auf der anderen. Die im vorherigen Posting beschriebene Anordnung ergibt also tatsächlich das größtmögliche Sechseck. [](/images/96511fd1-415d-4037-91a9-9a6dababbb70.png) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also *h* > *h*₁ oder *h* = *h*₁ gilt. Aus Symmetriegründen muss das größtmögliche Sechseck so liegen, dass sein Mittelpunkt mit dem des Quadrats zusammenfällt. Wir gehen von einem Sechseck der Kantenlänge ½*s* aus, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis mit dem Radius *ϱ* = ½*s* liegen. Wir legen es anfangs so, dass zwei Eckpunkte auf den Mittelpunkten zweier Quadratseiten liegen: [](/images/42f84092-935d-440c-ba63-dd57b673624d.png) Man kann das Sechseck nun um den Mittelpunkt drehen, dabei bleiben seine Eckpunkte auf dem Kreis. Nach 60° sieht es aus wie am Anfang. Wir müssen also nicht Drehwinkel von 0° bis 360° betrachten, sondern nur einen Bereich von 0° bis 60°. Oder von −30° bis 30°. Bei einem negativen Drehwinkel −*ϕ* sieht die Figur genauso aus wie um +*ϕ* gedreht und an der Achse gespiegelt. Wir müssen o.B.d.A. also nur *ϕ* im Bereich 0° bis 30° betrachten. Wenn wir das Sechseck um *ϕ* drehen, ergibt sich folgendes Bild: [](/images/cd1ecbaa-d30f-4894-91d6-a73c2e2ad7fd.png) Den Faktor, um den das Sechseck noch um den Mittelpunkt gestreckt werden kann, wird von dem am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt bestimmt. Aus Symmentriegründen genügt die Betrachtung dreier Punkte *A*, *B*, *C*. Im betrachten Bereich für *ϕ* ist *C* stets der am weitesten vom Quadrat entfernteste der Punkte, spielt also im Weiteren keine Rolle. Die Schnittpunkt von *OA* mit dem Quadrat sei *P*, der Schnittpunkt von *OB* mit dem Quadrat sei *Q*. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *A* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_A = \frac{OP}{OA}$$. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *B* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_B = \frac{OQ}{OB}$$. Der Faktor *k*, um den das Sechseck tatsächlich gestreckt werden kann, ist der kleinere der beiden Werte, $$k = \min\left( k_A, k_B \right)$$. Davon suchen wir das größtmögliche *k*. Durch die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich: $$\begin{align}\cos \varphi &= \frac{r}{OP} = \frac{1}{k_A}\\ \cos \left(30°-\varphi\right) &= \frac{r}{OQ} = \frac{1}{k_B}\end{align}$$ Bei den Kehrwerten suchen wir das kleinstmögliche $$\frac{1}{k} = \max\left( \frac{1}{k_A}, \frac{1}{k_B} \right) = \max\left( \cos \varphi, \cos \left(30°-\varphi\right) \right)$$. Dazu schauen wir uns den Verlauf der Funktionen cos *ϕ* und cos(30° − *ϕ*) an: [](/images/583212d9-e86e-476a-a6de-4e1411938cf7.jpeg) Der kleinstmögliche Wert für 1/*k* (also der größtmögliche für *k*) ist dort, wo sich die Funktionsgraphen kreuzen – bei *ϕ* = 15°. Dann liegen *A* und *B* symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats, *C* liegt auf der anderen. Die im vorherigen Posting beschriebene Anordnung ist also tatsächlich das größtmögliche Sechseck. [](/images/96511fd1-415d-4037-91a9-9a6dababbb70.png) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also *h* > *h*₁ oder *h* = *h*₁ gilt. Aus Symmetriegründen muss das größtmögliche Sechseck so liegen, dass sein Mittelpunkt mit dem des Quadrats zusammenfällt. Wir gehen von einem Sechseck der Kantenlänge ½*s* aus, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis mit dem Radius *ϱ* = ½*s* liegen. Wir legen es anfangs so, dass zwei Eckpunkte auf den Mittelpunkten zweier Quadratseiten liegen: [](/images/42f84092-935d-440c-ba63-dd57b673624d.png) Man kann das Sechseck nun um den Mittelpunkt drehen, dabei bleiben seine Eckpunkte auf dem Kreis. Nach 60° sieht es aus wie am Anfang. Wir müssen also nicht Drehwinkel von 0° bis 360° betrachten, sondern nur einen Bereich von 0° bis 60°. Oder von −30° bis 30°. Bei einem negativen Drehwinkel −*ϕ* sieht die Figur genauso aus wie um +*ϕ* gedreht und an der Achse gespiegelt. Wir müssen o.B.d.A. also nur *ϕ* im Bereich 0° bis 30° betrachten. Wenn wir das Sechseck um *ϕ* drehen, ergibt sich folgendes Bild: [](/images/cd1ecbaa-d30f-4894-91d6-a73c2e2ad7fd.png) Den Faktor, um den das Sechseck noch um den Mittelpunkt gestreckt werden kann, wird von dem am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt bestimmt. Aus Symmentriegründen genügt die Betrachtung dreier Punkte *A*, *B*, *C*. Im betrachten Bereich für *ϕ* ist *C* stets der am weitesten vom Quadrat entfernteste der Punkte, spielt also im Weiteren keine Rolle. Die Schnittpunkt von *OA* mit dem Quadrat sei *P*, der Schnittpunkt von *OB* mit dem Quadrat sei *Q*. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *A* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_A = \frac{OP}{OA}$$. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *B* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_B = \frac{OQ}{OB}$$. Der Faktor *k*, um den das Sechseck tatsächlich gestreckt werden kann, ist der kleinere der beiden Werte, $$k = \min\left( k_A, k_B \right)$$. Davon suchen wir das größtmögliche *k*. Durch die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich: $$\begin{align}\cos \varphi &= \frac{r}{OP} = \frac{1}{k_A}\\ \cos \left(30°-\varphi\right) &= \frac{r}{OQ} = \frac{1}{k_B}\end{align}$$ Bei den Kehrwerten suchen wir das kleinstmögliche $$\frac{1}{k} = \max\left( \frac{1}{k_A}, \frac{1}{k_B} \right) = \max\left( \cos \varphi, \cos \left(30°-\varphi\right) \right)$$. Dazu schauen wir uns den Verlauf der Funktionen cos *ϕ* und cos(30° − *ϕ*) an: [Bild folgt][](/images/583212d9-e86e-476a-a6de-4e1411938cf7.jpeg) Der kleinstmögliche Wert für 1/*k* (also der größtmögliche für *k*) ist dort, wo sich die Funktionsgraphen kreuzen – bei *ϕ* = 15°. Dann liegen *A* und *B* symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats, *C* liegt auf der anderen. Die im vorherigen Posting beschriebene Anordnung ist also tatsächlich das größtmögliche Sechseck. [](/images/96511fd1-415d-4037-91a9-9a6dababbb70.png) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)

@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Untersuche, ob es ein solches größeres Sechseck gibt oder nicht, ob also *h* > *h*₁ oder *h* = *h*₁ gilt. Aus Symmetriegründen muss das größtmögliche Sechseck so liegen, dass sein Mittelpunkt mit dem des Quadrats zusammenfällt. Wir gehen von einem Sechseck der Kantenlänge ½*s* aus, dessen Eckpunkte auf dem Inkreis mit dem Radius *ϱ* = ½*s* liegen. Wir legen es anfangs so, dass zwei Eckpunkte auf den Mittelpunkten zweier Quadratseiten liegen: [](/images/42f84092-935d-440c-ba63-dd57b673624d.png) Man kann das Sechseck nun um den Mittelpunkt drehen, dabei bleiben seine Eckpunkte auf dem Kreis. Nach 60° sieht es aus wie am Anfang. Wir müssen also nicht Drehwinkel von 0° bis 360° betrachten, sondern nur einen Bereich von 0° bis 60°. Oder von −30° bis 30°. Bei einem negativen Drehwinkel −*ϕ* sieht die Figur genauso aus wie um +*ϕ* gedreht und an der Achse gespiegelt. Wir müssen o.B.d.A. also nur *ϕ* im Bereich 0° bis 30° betrachten. Wenn wir das Sechseck um *ϕ* drehen, ergibt sich folgendes Bild: [](/images/cd1ecbaa-d30f-4894-91d6-a73c2e2ad7fd.png) Den Faktor, um den das Sechseck noch um den Mittelpunkt gestreckt werden kann, wird von dem am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt bestimmt. Aus Symmentriegründen genügt die Betrachtung dreier Punkte *A*, *B*, *C*. Im betrachten Bereich für *ϕ* ist *C* stets der am weitesten vom Quadrat entfernteste der Punkte, spielt also im Weiteren keine Rolle. Die Schnittpunkt von *OA* mit dem Quadrat sei *P*, der Schnittpunkt von *OB* mit dem Quadrat sei *Q*. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *A* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_A = \frac{OP}{OA}$$. Der Faktor, um den das Sechseck gestreckt werden kann, wenn *B* der am nächsten zum Quadrat liegenden Eckpunkt ist, ist $$k_B = \frac{OQ}{OB}$$. Der Faktor *k*, um den das Sechseck tatsächlich gestreckt werden kann, ist der kleinere der beiden Werte, $$k = \min\left( k_A, k_B \right)$$. Davon suchen wir das größtmögliche *k*. Durch die Beziehungen in rechtwinkligen Dreiecken ergibt sich: $$\begin{align}\cos \varphi &= \frac{r}{OP} = \frac{1}{k_A}\\ \cos \left(30°-\varphi\right) &= \frac{r}{OQ} = \frac{1}{k_B}\end{align}$$ Bei den Kehrwerten suchen wir das kleinstmögliche $$\frac{1}{k} = \max\left( \frac{1}{k_A}, \frac{1}{k_B} \right) = \max\left( \cos \varphi, \cos \left(30°-\varphi\right) \right)$$. Dazu schauen wir uns den Verlauf der Funktionen cos *ϕ* und cos(30° − *ϕ*) an: [Bild folgt] Der kleinstmögliche Wert für 1/*k* (also der größtmögliche für *k*) ist dort, wo sich die Funktionsgraphen kreuzen – bei *ϕ* = 15°. Dann liegen *A* und *B* symmetrisch zu einer der Diagonalen des Quadrats, *C* liegt auf der anderen. Die im vorherigen Posting beschriebene Anordnung ist also tatsächlich das größtmögliche Sechseck. [](/images/96511fd1-415d-4037-91a9-9a6dababbb70.png) LLAP 🖖 -- “When UX doesn’t consider *all* users, shouldn’t it be known as ‘*Some* User Experience’ or... SUX? #a11y” —[Billy Gregory](https://twitter.com/thebillygregory/status/552466012713783297)