Mathematik für zwischendurch

[trunx]

hallo,

Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, E ist der Mittelpunkt der Seite BC, F der Mittelpunkt der Seite CD. Zeige, dass die Strecken AE und AF die Diagonale BD dritteln. Prüfe, ob sie den Winkel BAD ebenfalls dritteln.

obda. sei der punkt A=(0,0), B=(1,0), D=(a,b) und damit nach voraussetzung C=(a+1,b). die mittelpunkte sind E=(a/2+1,b/2) und F=(a+1/2,b). die strecke AE ist die gerade g=s*(a/2+1,b/2) und AF ist h=t*(a+1/2,b). die diagonale BD ist d=(1,0)+r*(a-1,b). die schnittpunkte der geraden g bzw. h mit d ermittelt man durch gleichsetzung, wodurch ein LGS für r und s bzw. t entsteht - für die aufgabenstellung reicht allerdings die ermittlung des jeweiligen parameters r. er ist einmal 1/3 (für den schnitt mit g) und 2/3 (für den mit h), womit bereits das gesuchte gezeigt ist.

für die frage nach der winkeldreiteilung nutzen wir den cosinussatz; hier findet man, dass die drittelung von der wahl von a und b abhängig, also nicht mehr allgemein gültig ist.