Mathematik zum Buß- und Bettag - Lösung

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

die Aufgabe lässt sich unter Verwendung des Satzes von Pythagoras lösen.

1. Teilaufgabe:
Wegen Dreiecksungleichung muss der länge Schenkel gebogen werden, das tun wir im Abstand x von der ersten Biege. Das freie Ende ist dann 31 − x lang und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Damit’s ein Dreieck wird muss also der Pythagoras erfüllt werden: (31 − x)² = x² + 27. Das gilt für x = ¹¹⁶⁄₃₁. Die Dreiecksseiten sind 27, ¹¹⁶⁄₃₁ und ⁸⁴⁵⁄₃₁ lang.
(@Gunnar Bittersmann)

2. Teilaufgabe:
Hier bin ich der Meinung, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Ich teile den 31cm Schenkel wieder am Punkt A mit $$b:=\overline{AC}$$ und den 27cm Schenkel teile ich am Punkt B mit $$a:=\overline{BC}$$. Die Nummer geht auf, wenn Pythagoras zufrieden ist, also $$a^2+b^2=(31-a + 27-b)^2=c^2$$ gilt.

$$\begin{align} && a^2+b^2 &=(31-a + 27-b)^2
&& &= (58-a-b)^2
&& &= 58^2-116a-116b+2ab+a^2+b^2
\Longleftrightarrow && a^2+b^2+116a-2ab &= 58^2-116b+a^2+b^2
\Longleftrightarrow && a(116-2b) &= 3364-116b
\Longleftrightarrow && a &= 58\cdot\frac{29-b}{58-b}
\end{align}$$

Die Division ist kein Problem, weil b Teil des 31cm Schenkels ist und nicht länger als 31cm sein kann. Randfälle: Für b=0 erhalte ich a=29 und ein entartetes „rechtwinkliges“ Dreieck mit a=c und b=0. Für b=29 ergibt sich a=0 (weil der Zähler 0 wird), größere Werte für b führen zu negativen a und damit nicht mehr zu realen Figuren. D.h. die Formel hat einen Definitionsbereich $$b \in [0,29]$$, und Werte im gleichen Intervall. Die Randpunkte liefern zum Strich entartete Dreiecke.
(@Rolf B)

Im Prinzip richtig, zwei provozierende Anmerkungen und zwei Folgefragen von mir:

1. Die Frage war nur, ob es möglich ist, ein Beispiel hätte genügt.
2. Wie will man denn den 27cm-Schenkel bei z.B. 28cm teilen? 😉 ^
3. Welches ist das größte dieser Dreiecke?
4. Gibt es unter diesen Dreiecken eines mit nur ganzzahligen Seitenlängen?

Weitere Einsendungen kamen von @encoder und @Norbert K.

Bis demnächst
Matthias