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Tach!
Das Problem liegt hier:
if($_POST["name"] == "test"){
denn wie soll der Parser in PHP wissen, daß "name" ein Parameter sein soll. Wenn der Parser das automatisch so erkennen soll, müsstest Du dem Request einen entsprechenden Content-Type Header mitgeben und zwar einen solchen den der Parser kennt und damit weiß was er zu tun hat, also den Parameter in das POST-Array legen.
Das ist gegeben, denn die verwendete jQuery-Funktion sendet bei einem Aufruf, wie dem gezeigten, einen POST-Request mit dem Default-Wert 'application/x-www-form-urlencoded; charset=UTF-8' als Content-Type. "name" und "test" befinden sich auch ordnungsgemäß an den dafür vorgesehenen Stellen im Request.
dedlfix.