Mathematik zum Wochenanfang - Meine zweite Lösung

[ottogal]

Vorbemerkung:

Das Folgende hat nur Sinn, wenn [AB] bzw. [BC] nicht durch den Kreismittelpunkt geht, da dann die Sehne [CD] bzw. [DE] nicht existiert - C fällt mit D bzw. D fällt mit E zusammen; die Parallele würde jeweils zur Tangenten.

Die Mittelsenkrechte einer Sehne geht durch den Kreismittelpunkt.

B und E sind Spiegelbilder von C bzw. D an der Achse HK, der Mittelsenkrechten von [BC]. Deshalb ist |BE|=|CD|=c.

Der Winkel <CBE ist als Spiegelbild des Winkels <BCD so groß wie dieser; der hat aber 45° (als Z-Winkel zu <ABC, da CD//AB).

Also ist <ABE=90°, und nach der Umkehrung des Thalessatzes ist folglich [AE] ein Kreisdurchmesser. Pythagoras in Dreieck AEB liefert dann a²+c²=4r².

A und D sind Spiegelbilder von B bzw. C an der Achse FG, der Mittelsenkrechten von [AB]. Deshalb ist |AD|=|BC|=b.

Da [AE] Kreisdurchmesser ist, ist Dreieck EAD nach Thales rechtwinklig, und Pythagoras liefert b²+d²=4r².