Hallo in die Runde! > Wir zerlegen das Quadrat *EBFG* mit Parallelen zu *AB* und *AD* in 4 Dreiecke und ein Quadrat. Oder mit einer Zerlegung in ein Parallelogramm und zwei kongruente Dreiecke: [](/images/e3d95d0e-bd95-4183-90ae-a83011fab577.png) Sei *PQ* = *d*. Mit *AB* = 4 und *AE* = *a* ergibt sich für das Parallelogramm der Flächeninhalt (4 + *d*) × (4 − *a*) und für die beiden Dreiecke zusammen (4 + *d*) × *a*, für die Gesamtfläche also (4 + *d*) × 4 = 16 + 4*d*. Dies muss 17 sein, also ist 4*d* = 1. Nach dem Höhensatz ist aber 4*d* = *a*², somit it *a* = 1. Entsprechend zeigt man, dass *BH* = *b* = 2 ist: [](/images/2a97f6a0-b802-4bac-8fcf-0bb14c795c01.png) Zusatzaufgaben: > Hat jemand eine Lösung ohne Rechnen mit Koordinaten, sondern rein geometrisch? Ich benenne die Punkte (außer S) wie in deiner Lösung: [](/images/0f333fca-4297-4069-9792-fa556509e163.png) Sei *S* der Schnittpunkt von *AD* mit *LK*. Da die Winkel <*LAS* und <*BAH* gleich sind - sie ergänzen jeweils <*HAS* zu einem Rechten - sind die rechtwinkligen Dreiecke *LAS* und *BAH* ähnlich. DA *HB* = *AB*/2 ist, folgt *SL* = *LA*/2 = *LK*/2. *S* ist daher der Mittelpunkt von *LK*. Wegen der Kongruenz der roten Dreiecke *EAB*, *BQF*, *FRG* und *GTE* ist *BQ* = *EA* = 1, also *AQ* = *AT* = 5 und daher *T* derselbe Punkt wie *S*. Folglich sind *SG* und *LD* parallel, und nach dem Strahlensatz folgt *KD* : *KG* = *KL* : *KS* = 2 : 1, also *GD* : *KG* = 1 : 1. [](/images/9d870c85-9b28-449d-bacd-31a7fe6528ac.png) Die fünf farbigen rechtwinkligen Dreiecke sind kongruent (mit den Kathetenlängen 1 und 4). Daher sind die Strecken *GP* und *IH* gleich lang und parallel, d.h. *PHIG* ist ein Parallelogramm. Es folgt: *GI* ist parallel zu *PH* und daher auch zu *LK*.

Hallo in die Runde! > Wir zerlegen das Quadrat *EBFG* mit Parallelen zu *AB* und *AD* in 4 Dreiecke und ein Quadrat. Oder mit einer Zerlegung in ein Parallelogramm und zwei kongruente Dreiecke: [](/images/e3d95d0e-bd95-4183-90ae-a83011fab577.png) Mit *AB* = 4 und *AE* = *a* ergibt sich für das Parallelogramm der Flächeninhalt (4 + *d*) × (4 − *a*) und für die beiden Dreiecke zusammen (4 + *d*) × *a*, für die Gesamtfläche also (4 + *d*) × 4 = 16 + 4*d*. Dies muss 17 sein, also ist 4*d* = 1. Nach dem Höhensatz ist aber 4*d* = *a*², somit it *a* = 1. Entsprechend zeigt man, dass *BH* = *b* = 2 ist: [](/images/2a97f6a0-b802-4bac-8fcf-0bb14c795c01.png) Zusatzaufgaben: > Hat jemand eine Lösung ohne Rechnen mit Koordinaten, sondern rein geometrisch? Ich benenne die Punkte (außer S) wie in deiner Lösung: [](/images/0f333fca-4297-4069-9792-fa556509e163.png) Sei *S* der Schnittpunkt von *AD* mit *LK*. Da die Winkel <*LAS* und <*BAH* gleich sind - sie ergänzen jeweils <*HAS* zu einem Rechten - sind die rechtwinkligen Dreiecke *LAS* und *BAH* ähnlich. DA *HB* = *AB*/2 ist, folgt *SL* = *LA*/2 = *LK*/2. *S* ist daher der Mittelpunkt von *LK*. Wegen der Kongruenz der roten Dreiecke *EAB*, *BQF*, *FRG* und *GTE* ist *BQ* = *EA* = 1, also *AQ* = *AT* = 5 und daher *T* derselbe Punkt wie *S*. Folglich sind *SG* und *LD* parallel, und nach dem Strahlensatz folgt *KD* : *KG* = *KL* : *KS* = 2 : 1, also *GD* : *KG* = 1 : 1. [](/images/9d870c85-9b28-449d-bacd-31a7fe6528ac.png) Die fünf farbigen rechtwinkligen Dreiecke sind kongruent (mit den Kathetenlängen 1 und 4). Daher sind die Strecken *GP* und *IH* gleich lang und parallel, d.h. *PHIG* ist ein Parallelogramm. Es folgt: *GI* ist parallel zu *PH* und daher auch zu *LK*.