Geometrie zu Weihnachten

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

Fröhliche Weihnachten!

Einem gleichseitigen Dreieck kann man ein Quadrat auf zwei verschiedene Weisen einbeschreiben:

Wie man leicht sehen kann, sind die beiden Quadrate nicht gleich groß. 😂 Zum Vergleich ein Bild mit gleichgroßen Quadraten.

Einem gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge a wird ein Quadrat in der einen Lage einbeschrieben, einem der Seitenlänge b ein Quadrat in der anderen Lage. Die beiden Quadrate sind flächengleich.

1. Berechne a/b (a < b).
Interessanterweise (und unter der Voraussetzung, dass ich mich nicht verrechnet habe) lässt sich der Quotient unter Verwendung der Ziffern 1, 2, 3 und 4 (in dieser Reihenfolge) darstellen.

2. Konstruiere das einbeschriebene Quadrat in der Lage MNOP
natürlich ohne die Seitenlänge vorher zu berechnen. Dafür habe ich keine Lösung und bin nicht sicher, ob das überhaupt geht. Aber auch das kann ich nicht beweisen.

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

1. Berechne a/b (a < b).
Interessanterweise (und unter der Voraussetzung, dass ich mich nicht verrechnet habe) lässt sich der Quotient unter Verwendung der Ziffern 1, 2, 3 und 4 (in dieser Reihenfolge) darstellen.

Für a/b gilt die Reihenfolge nicht, aber für _a_²/_b_².

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

2. Konstruiere das einbeschriebene Quadrat in der Lage MNOP
natürlich ohne die Seitenlänge vorher zu berechnen.

Warum sollte man nicht rechnen dürfen? Darf man IMHO. Man muss aber das Ergebnis konstruieren.

Konstruieren heißt: mit Lineal und Zirkel. Lineal heißt: ohne Zentimetermaß.

Dafür habe ich keine Lösung und bin nicht sicher, ob das überhaupt geht.

Geht.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

ich habe ganz klassisch die Strahlensätze bemüht, um die Seitenlängen der Quadrate zu ermitteln. @Gunnar Bittersmann und @ottogal haben andere Ansätze verfolgt. Außerdem habe ich mich natürlich vertan und _a_²/_b_² statt a/b ermittelt.

Es gilt:

$$\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4};\ \ \ \frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2} \left( 1 + \sqrt{3} \right)}{4}$$

Auch die Konstruktion ist sehr einfach möglich: Man konstruiere ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1:2 in beliebiger Größe, sodass ein Eckpunkt im Mittelpunkt der Grundseite des Dreiecks liegt. Eine Diagonale oder deren Verlängerung schneidet eine zweite Dreiecksseite. Dieser Schnittpunkt ist ein Eckpunkt des gesuchten Quadrates.

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

Es gilt:

$$\frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}$$

Plus!! 🤣

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Plus!! 🤣

Genau. 🤣

Bis demnächst
Matthias