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Gunnar Bittersmann@@ottogal
Meine Zerlegung sah so aus:
Aus den Kreisgleichungen ist schnell der Schnittpunkt (⅘, ⅗) der Kreise berechnet. (Deshalb schwimmt mein Fisch in die andere Richtung. Und jaja, die Kreise schneiden sich natürlich in zwei Punkten, der andere ist (0, 1).)
Das orange markierte Dreieck hat die Kathetenlängen ⅖ und ⅘ − ½ = ³⁄₁₀, die sich also auch wie 4 : 3 verhalten; damit sind die Innenwinkel auch α und β.
Das Kreissegment A errechnet sich aus dem Kreissektor mit Radius 1 und Winkel β abzüglich des Dreiecks mit Grundseite 1 und Höhe ⅘:
$$A = \frac{\beta}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2 - \tfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{2} \beta - \tfrac{2}{5}$$
Das Kreissegment B errechnet sich aus dem Kreissektor mit Radius ½ und Winkel π − β abzüglich des Dreiecks mit Grundseite ½ und Höhe ⅖:
$$B = \frac{\pi - \beta}{2\pi} \cdot \pi \cdot \left( \tfrac{1}{2} \right)^2 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} = \tfrac{1}{8} \pi - \tfrac{1}{8} \beta - \tfrac{1}{10}$$
Die Fläche C errechnet sich aus dem Rechteck mit den Seitenlängen 1 und ⅗ abzüglich des Kreissektors mit Radius 1 und Winkel α und des Dreiecks mit Grundseite ⅗ und Höhe ⅘:
$$C = 1 \cdot \tfrac{3}{5} - \frac{\alpha}{2\pi} \cdot \pi \cdot 1^2 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{5} \cdot \tfrac{4}{5} = -\tfrac{1}{2} \alpha + \tfrac{9}{25}$$
Die Fläche D errechnet sich aus dem Rechteck mit den Seitenlängen ½ und ⅖ abzüglich des Kreissektors mit Radius ½ und Winkel β und des Dreiecks mit Grundseite ³⁄₁₀ und Höhe ⅖:
$$D = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{5} - \frac{\beta}{2\pi} \cdot \pi \cdot \left( \tfrac{1}{2} \right)^2 - \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{3}{10} \cdot \tfrac{2}{5} = -\tfrac{1}{8} \beta + \tfrac{7}{50}$$
Und nun mach’n Fisch!
$$A + B + C + D = \tfrac{1}{8} \pi - \tfrac{1}{2} \alpha + \tfrac{1}{4} \beta$$
Mit β = ½π − α und α = arcsin ⅗ ergibt sich:
$$A + B + C + D = \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{3}{4} \alpha = \tfrac{1}{4} \pi - \tfrac{3}{4} \arcsin \tfrac{3}{5}$$
LLAP 🖖
„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“ —Kurt Weidemann
Rolf B
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