Mathematik zum Wochenende - Lösung und Zusatzaufgabe

[Rolf B]

Hallo ottogal,

ich hätte ein paar Einwände.

Woher weiß ich, dass die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl irrational ist? Das ist schnell gezeigt, aber erwähnt werden sollte es bei einem Beweis auf diesem Level. Es ist nicht in den Axiomen der Aufgabenstellung enthalten.

Deine GGT-Überlegungen hatte ich bei meinem Fehlstart auch, war aber ungeschickter und habe mit Primfaktoren rumhantiert. Deins ist eleganter, aber der Hilfssatz taugt leider trotzdem nichts.

Zuerst hat mich gestört, dass Du die Teilerfremdheit von c und d im Beweis nicht nutzt. Der Nichtgebrauch einer Voraussetzung zeigt entweder an, dass die Voraussetzung unnötig ist, oder der Beweis faul ist. Nach kurzem Nachdenken fand ich den Wurm:

Gegenbeispiel: a=8, b=18. Deren Wurzeln sind irrational ($$2\sqrt2$$ und $$3\sqrt2$$). GGT ist 2, d.h. es ist c=4 und d=9. Die sind teilerfremd. Die Wurzel aus cd=36 ist 6, das ist zwar in gewissem Sinne irrational, aber nur für Lateiner.

Rolf