Bei Klick auf checkbox Update ausführen und Text durchstreichen

[Regina Schaukrug]

  	success:function(d) {
    		
    		if($("input:checked")){
  			$(this).next('span').addClass("done");
  		}

  		$( "input:not(:checked) + span" ).removeClass("done");
  	}

Logisch falsch!

Du toggelst die Klasse anhand des Hakens. Das ist Mist, weil Du zu dem Zeitpunkt in der Rückgabe des Requests einen sicheren Anhaltspunkt dafür hast ob in der Datenbank der Eintrag geändert wurde, statt nur der Vermutung für die nur der Haken in der Checkbox spricht.

Wenn Du $.ajax verwenden willst, dann schaue nach, wie Du die Rückgaben auswertest. Außerdem hast Du die Checkbox nicht deaktiviert. Auch das führt zu Chaos.