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Hallo in die Runde,
die in logische und philosophische Fragen abschweifende Diskussion um den Sonderfall hat mehr Interessenten gefunden als die eigentliche Aufgabe... Nur @RolfB hat mir eine (natürlich richtige) Lösung geschickt.
Dies ist meine Lösung:
Der Schnittpunkt der drei Geraden heiße S, der frei wählbare Punkt P, die Lotfußpunkte A, B, C.
P soll von S verschieden sein.
(Das hätte durchaus in die Aufgabenstellung gehört. Es vermeidet die Behandlung des trivialen Sonderfalls und damit die Unbehaglichkeit, die man damit haben mag).
Der orangefarbene Kreis ist der Thaleskreis mit dem Durchmesser PS.
Wegen der rechten Winkel bei den Lotfußpunkten liegen daher außer P und S auch A, B und C auf diesem Kreis (nach der Umkehrung des Satzes von Thales).
Fall 1:
P liege auf der Geraden SA.
Dann ist P = A.
(Ja, die Lotstrecke PA ist dann zu einem Punkt entartet.)
Im Sehnenviereck BSCA ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zu 180°.
Da $$\sphericalangle$$ CSB = 120° ist, folgt $$\sphericalangle$$ BAC = 60°.
SA ist Symmetrieachse von $$\triangle$$ ABC, das also gleichschenklig ist. Seine Basiswinkel müssen daher auch 60° haben.
Fall 2:
P liege auf der Winkelhalbierenden w von BSA.
Hier ist w Symmetrieachse von $$\triangle$$ ABC; es ist also gleichschenklig mit $$\sphericalangle$$ ASB = 60° an der Spitze. Seine Basiswinkel müssen daher auch 60° haben.
Fall 3:
P liege im Innern des gelben 30°-Winkelfelds zwischen der Halbgeraden SA und der Winkelhalbierenden w.
Die $$\sphericalangle$$ ACB und $$\sphericalangle$$ ASB sind Umfangswinkel zur selben Sehne [AB].
Wegen des Umfangswinkelsatzes ist daher $$\sphericalangle$$ ACB = $$\sphericalangle$$ ASB = 60°.
Ebenso sind $$\sphericalangle$$ CBA und $$\sphericalangle$$ CSA Umfangswinkel zur selben Sehne [CA],
also ist auch $$\sphericalangle$$ CBA = $$\sphericalangle$$ CSA = 60°.
Auf Grund der Symmetrie des Ganzen verläuft die Argumentation analog, wenn P auf einer anderen der drei Geraden, auf einer anderen der Winkelhalbierenden zwischen diesen oder in einem anderen 30°-Winkelfeld zwischen einer der Geraden und einer ihrer benachbarten Winkelhalbierenden liegt. (Es wären lediglich Punkte umzubenennen.)
Somit hat das $$\triangle$$ ABC stets drei 60°-Winkel, ist also gleichseitig.
Viele Grüße
ottogal
Gunnar Bittersmann
Rolf B
Der Martin
JürgenB