Mathematik zum Wochenende

[Matthias Apsel]

Hallo alle,

ich weiß, ihr habt drauf gewartet. 😀

Eine Gerade kann die Ebene in maximal zwei Gebiete teilen.
Zwei Geraden können die Ebene in maximal vier Gebiete teilen.
Drei Geraden können die Ebene in maximal sieben Gebiete teilen.

In maximal wieviele Gebiete kann die Ebene durch n Geraden geteilt werden?

Bis demnächst
Matthias

[Julia]

Hallo Mathias,

[LÖSUNG]

Viele Grüße

Julia

[Matthias Apsel]

Hallo Julia,

[LÖSUNG]

Wir wollen doch den anderen auch noch ein wenig Knobelei lassen. 😁

Bis demnächst
Matthias

[Gunnar Bittersmann]

@@Matthias Apsel

[LÖSUNG]

Wir wollen doch den anderen auch noch ein wenig Knobelei lassen. 😁

Dann lag Julia wohl richtig – und ich damit auch?

Meine Begründung ist aber noch weit davon entfernt, ein Beweis zu sein.

LLAP 🖖

[Matthias Apsel]

Hallo Gunnar Bittersmann,

Dann lag Julia wohl richtig – und ich damit auch?

weiß ich gar nicht.

Meine Begründung ist aber noch weit davon entfernt, ein Beweis zu sein.

Auf einen Beweis kann man auch verzichten, wenn man manche Tatsachen als allgemein bekannt betrachtet. Hint: Für 100 ergibt sich 5051.

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

JCFG lässt grüßen :)

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

In maximal wieviele Gebiete kann die Ebene durch n Geraden geteilt werden?

Ob die Argumentationskette wirklich als Beweis gilt, …

Wenn eine Gerade eine schon irgendwie durch n Geraden unterteilte Ebene so teilen soll, dass möglichst viele neue Gebiete entstehen soll, muss diese Gerade alle vorhandenen Geraden so schneiden, dass keine Schnittpunkte zusammenfallen. Dass sie keine der vorhandenen Geraden mehr als einmal schneiden kann, sollte auch klar sein.

Deshalb verläuft die neue Gerade durch n + 1 Gebiete, das zwischen „Anfang der Ebene“ und erster Gerade, das zwischen erster und zweiter Gerade, … das zwischen vorletzter und letzter Gerade und das zwischen letzter Gerade und dem „Ende der Ebene“.

Die Zählung erfolgt dabei aus der Sicht der neuen Geraden und ist nicht etwa die Reihenfolge der Erzeugung der Vorgängergeraden.

Die n-te Gerade kann also maximal n + 1 neue Gebiete erzeugen. Es gilt

$$g = \sum_{k=1}^n i + 1 = 1 + \sum_{k=1}^n i = 1 + \frac{n}{2} \cdot (n + 1) = \frac{n^2 + n + 2}{2}$$

Wer das nun beweisen möchte, kann das gern mit vollständiger Induktion tun.

Richtige Antworten kamen von @encoder und @Rolf B. Auch das, was @Julia schrieb war (auf den flüchtigen Blick) richtig.

Eine kleine Zusatzaufgabe: Wieviele Schnittpunkte zwischen n Geraden kann es maximal geben?

Bis demnächst
Matthias

[Matthias Apsel]

Hallo Matthias Apsel,

Eine kleine Zusatzaufgabe: Wieviele Schnittpunkte zwischen n Geraden kann es maximal geben?

@encoder schrieb: Eine Gerade die zu n-1 Geraden hinzukommt (also sinds jetzt n Geraden), kann maximal n-1 Schnittpunkte erzeugen.

Anzahl Geraden	maximale Anzahl Schnittpunkte	Summe der ersten natürlichen Zahlen	maximale Anzahl Gebiete
1	0	1	2
2	1	3	4
3	3	6	7
4	6	10	11
⋮	⋮	⋮	⋮
n	$$\displaystyle \sum_{g=1}^{n-1} g$$	$$\displaystyle \sum_{g=1}^{n} g$$	$$\displaystyle 1 + \sum_{g=1}^{n} g$$

Bis demnächst
Matthias