@@Gunnar Bittersmann > 1\. Auf wieviele Nullen endet die Zahl 2019! = 1 · 2 · 3 · … · 2019? Eine Null am Ende ensteht durch Multiplikation einer 2 und einer 5 aus der Primfaktorzerlegung. Da es mehr 2en als 5en als Primfaktoren von 2019! gibt (es gibt mehr gerade Zahlen als durch 5 teilbare Zahlen in der Folge 1, 2, 3, …, 2019; mehr durch 4 teilbare als durch 25 teilbare usw.), ist die Anzahl der Nullen am Ende gleich der Anzahl (dem Exponenten) des Primfaktors 5. Die Anzahl der durch 5 teilbaren Zahlen bis 2019 ist $$\lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor$$ (wobei $$\lfloor \rfloor$$ für die nächst kleinere oder gleiche Ganzzahl steht; das was `Math.floor()`{:.language-js} in JavaScript tut). Durch 5² = 25 teilbare Zahlen wurden hierin einfach gezählt, tragen aber zwei 5en als Primfaktoren bei. Also muss noch die Anzahl der durch 5² teilbaren Zahlen bis 2019 hinzugezählt werden. Und dann noch jeweils die Anzahl der durch 5³, 5⁴ usw. teilbaren Zahlen. Die Anzahl der Nullen ist also: $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$ Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei *k* = 4 aufhören: $$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$ Schnell in die Konsole getippt: `Math.floor(2019/5) + Math.floor(2019/25) + Math.floor(2019/125) + Math.floor(2019/625)`{:.language-js} **502** **Zusatzaufgabe:** Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen? --- > 2\. Auf welche zwei Ziffern endet die Zahl 2019²⁰¹⁹? Es gilt 2019²⁰¹⁹ ≡ 19²⁰¹⁹ mod 100. Außer über Zahlenkongruenzen bekommt man das hin, indem man die 2019 in einen durch 100 teilbaren Teil und den Rest zerlegt: 2019 = 2000 + 19. Binomische Formel: (2000 + 19)²⁰¹⁹ = 2000²⁰¹⁹ + 2019 · 2000²⁰¹⁸ · 19 + … + 2019 · 2000 · 19²⁰¹⁸ + 19²⁰¹⁹ Alle Summanden bis auf den letzten sind durch 100 teilbar, tragen also nichts zu den letzten beiden Stellen bei. 2019²⁰¹⁹ endet auf dieselben zwei Stellen wie 19²⁰¹⁹. Schauen wir uns die letzten zwei Stellen von 19*ⁿ* an: 19⁰ = 1 19¹ = 19 19² = …61 19³ = …59 19⁴ = …21 19⁵ = …99 19⁶ = …81 19⁷ = …39 19⁸ = …41 19⁹ = …79 19¹⁰ = …01 19¹¹ = …19 Ein Zyklus der Länge 10. 19²⁰¹⁹ und damit auch 2019²⁰¹⁹ endet also auf dieselben zwei Stellen wie 19⁹: auf die Ziffern **79**. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann

@@Gunnar Bittersmann > 1\. Auf wieviele Nullen endet die Zahl 2019! = 1 · 2 · 3 · … · 2019? Eine Null am Ende ensteht durch Multiplikation einer 2 und einer 5 aus der Primfaktorzerlegung. Da es mehr 2en als 5en als Primfaktoren von 2019! gibt (es gibt mehr gerade Zahlen als durch 5 teilbare Zahlen in der Folge 1, 2, 3, …, 2019; mehr durch 4 teilbare als durch 25 teilbare usw.), ist die Anzahl der Nullen am Ende gleich der Anzahl (des Exponenten) des Primfaktors 5. Die Anzahl der durch 5 teilbaren Zahlen bis 2019 ist $$\lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor$$ (wobei $$\lfloor \rfloor$$ für die nächst kleinere oder gleiche Ganzzahl steht; das was `Math.floor()`{:.language-js} in JavaScript tut). Durch 5² = 25 teilbare Zahlen wurden hierin einfach gezählt, tragen aber zwei 5en als Primfaktoren bei. Also muss noch die Anzahl der durch 5² teilbaren Zahlen bis 2019 hinzugezählt werden. Und dann noch jeweils die Anzahl der durch 5³, 5⁴ usw. teilbaren Zahlen. Die Anzahl der Nullen ist also: $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$ Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei *k* = 4 aufhören: $$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$ Schnell in die Konsole getippt: `Math.floor(2019/5) + Math.floor(2019/25) + Math.floor(2019/125) + Math.floor(2019/625)`{:.language-js} **502** **Zusatzaufgabe:** Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen? --- > 2\. Auf welche zwei Ziffern endet die Zahl 2019²⁰¹⁹? Es gilt 2019²⁰¹⁹ ≡ 19²⁰¹⁹ mod 100. Außer über Zahlenkongruenzen bekommt man das hin, indem man die 2019 in einen durch 100 teilbaren Teil und den Rest zerlegt: 2019 = 2000 + 19. Binomische Formel: (2000 + 19)²⁰¹⁹ = 2000²⁰¹⁹ + 2019 · 2000²⁰¹⁸ · 19 + … + 2019 · 2000 · 19²⁰¹⁸ + 19²⁰¹⁹ Alle Summanden bis auf den letzten sind durch 100 teilbar, tragen also nichts zu den letzten beiden Stellen bei. 2019²⁰¹⁹ endet auf dieselben zwei Stellen wie 19²⁰¹⁹. Schauen wir uns die letzten zwei Stellen von 19*ⁿ* an: 19⁰ = 1 19¹ = 19 19² = …61 19³ = …59 19⁴ = …21 19⁵ = …99 19⁶ = …81 19⁷ = …39 19⁸ = …41 19⁹ = …79 19¹⁰ = …01 19¹¹ = …19 Ein Zyklus der Länge 10. 19²⁰¹⁹ und damit auch 2019²⁰¹⁹ endet also auf dieselben zwei Stellen wie 19⁹: auf die Ziffern **79**. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann

@@Gunnar Bittersmann > 1\. Auf wieviele Nullen endet die Zahl 2019! = 1 · 2 · 3 · … · 2019? Eine Null am Ende ensteht durch Multiplikation einer 2 und einer 5 aus der Primfaktorzerlegung. Da es mehr 2en als 5en als Primfaktoren von 2019! gibt (es gibt mehr gerade Zahlen als durch 5 teilbare Zahlen in der Folge 1, 2, 3, …, 2019; mehr durch 4 teilbare als durch 25 teilbare usw.), ist die Anzahl der Nullen am Ende gleich der Anzahl (des Exponenten) des Primfaktors 5. Die Anzahl der durch 5 teilbaren Zahlen bis 2019 ist $$\lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor$$ (wobei $$\lfloor \rfloor$$ für die nächst kleinere oder gleiche Ganzzahl steht; das was `Math.floor()`{:.language-js} in JavaScript tut). Durch 5² = 25 teilbare Zahlen wurden hierin einfach gezählt, tragen aber zwei 5en als Primfaktoren bei. Also muss noch die Anzahl der durch 5² teilbaren Zahlen bis 2019 hinzugezählt werden. Und dann noch jeweils die Anzahl der durch 5³, 5⁴ usw. teilbaren Zahlen. Die Anzahl der Nullen ist also: $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$ Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei *k* = 4 aufhören: $$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$ Schnell in die Konsole getippt: `Math.floor(2019/5) + Math.floor(2019/25) + Math.floor(2019/125) + Math.floor(2019/625)`{:.language-js} **502** **Zusatzaufgabe:** Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen? --- > 2\. Auf welche zwei Ziffern endet die Zahl 2019²⁰¹⁹? Es gilt 2019²⁰¹⁹ ≡ 19²⁰¹⁹ mod 100. Außer über Zahlenkongruenzen bekommt man das hin, indem man die 2019 in einen durch 100 teilbaren Teil und den Rest zerlegt: 2019 = 2000 + 19. Binomische Formel: (2000 + 19)²⁰¹⁹ = 2000²⁰¹⁹ + 2019 · 2000²⁰¹⁸ · 19 + … + 2019 · 2000 · 19²⁰¹⁸ + 19²⁰¹⁹ Alle Summanden bis auf den letzten sind durch 100 teilbar, tragen also nichts zu den letzten beiden Stellen bei. 2019²⁰¹⁹ endet auf dieselben zwei Stellen wie 19²⁰¹⁹. Schauen wir uns die letzten zwei Stellen von 19*ⁿ* an: 19⁰ = 1 19¹ = 19 19² = …61 19³ = …59 19⁴ = …21 19⁵ = …99 19⁶ = …81 19⁷ = …39 19⁸ = …41 19⁹ = …79 19¹⁰ = …01 19¹¹ = …19 Ein Zyklus der Länge 10. 19²⁰¹⁹ und damit auch 2019²⁰¹⁹ endet also auf dieselben zwei Stellen wie 19⁹: auf die Ziffern **79**. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann