Mathematik zum Wochenende – Lösung und Zusatzaufgabe

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

1. Auf wieviele Nullen endet die Zahl 2019! = 1 · 2 · 3 · … · 2019?

Eine Null am Ende ensteht durch Multiplikation einer 2 und einer 5 aus der Primfaktorzerlegung. Da es mehr 2en als 5en als Primfaktoren von 2019! gibt (es gibt mehr gerade Zahlen als durch 5 teilbare Zahlen in der Folge 1, 2, 3, …, 2019; mehr durch 4 teilbare als durch 25 teilbare usw.), ist die Anzahl der Nullen am Ende gleich der Anzahl (dem Exponenten) des Primfaktors 5.

Die Anzahl der durch 5 teilbaren Zahlen bis 2019 ist $$\lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor$$ (wobei $$\lfloor \rfloor$$ für die nächst kleinere oder gleiche Ganzzahl steht; das was Math.floor() in JavaScript tut).

Durch 5² = 25 teilbare Zahlen wurden hierin einfach gezählt, tragen aber zwei 5en als Primfaktoren bei. Also muss noch die Anzahl der durch 5² teilbaren Zahlen bis 2019 hinzugezählt werden. Und dann noch jeweils die Anzahl der durch 5³, 5⁴ usw. teilbaren Zahlen.

Die Anzahl der Nullen ist also:

$$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$

Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei k = 4 aufhören:

$$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$

Schnell in die Konsole getippt:
Math.floor(2019/5) + Math.floor(2019/25) + Math.floor(2019/125) + Math.floor(2019/625)

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Zusatzaufgabe: Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen?

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2. Auf welche zwei Ziffern endet die Zahl 2019²⁰¹⁹?

Es gilt 2019²⁰¹⁹ ≡ 19²⁰¹⁹ mod 100.

Außer über Zahlenkongruenzen bekommt man das hin, indem man die 2019 in einen durch 100 teilbaren Teil und den Rest zerlegt: 2019 = 2000 + 19.

Binomische Formel: (2000 + 19)²⁰¹⁹ = 2000²⁰¹⁹ + 2019 · 2000²⁰¹⁸ · 19 + … + 2019 · 2000 · 19²⁰¹⁸ + 19²⁰¹⁹

Alle Summanden bis auf den letzten sind durch 100 teilbar, tragen also nichts zu den letzten beiden Stellen bei. 2019²⁰¹⁹ endet auf dieselben zwei Stellen wie 19²⁰¹⁹.

Schauen wir uns die letzten zwei Stellen von 19ⁿ an:

19⁰ = 1
19¹ = 19
19² = …61
19³ = …59
19⁴ = …21
19⁵ = …99
19⁶ = …81
19⁷ = …39
19⁸ = …41
19⁹ = …79
19¹⁰ = …01
19¹¹ = …19

Ein Zyklus der Länge 10. 19²⁰¹⁹ und damit auch 2019²⁰¹⁹ endet also auf dieselben zwei Stellen wie 19⁹: auf die Ziffern 79.

LLAP 🖖