@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen? Ich hab ewig nach einer klugen Lösung gesucht – mir ist nur keine eingefallen. Also mit brutaler Kraft die Exponenten aller Primfaktoren von 2019! ermittelt – genauso wie für die 5en: > $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$ > > Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei *k* = 4 aufhören: > > $$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{2^k}\rfloor = \sum_{k=1}^{10} \lfloor \tfrac{2019}{2^k}\rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{2} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{4} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{8} \rfloor + \cdots + \lfloor \tfrac{2019}{1024} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{3^k}\rfloor = \sum_{k=1}^6 \lfloor \tfrac{2019}{3^k}\rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{3} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{9} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{27} \rfloor + \cdots + \lfloor \tfrac{2019}{729} \rfloor$$ Die Exponenten auszurechnen kann ein Script besser ([Codepen](https://codepen.io/pen?editors=0011)): ~~~JavaScript const primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ..., 2017]; const exponents = primes.map(prime => { let sum = 0; for (let denominator = prime; denominator <= 2019; denominator *= prime) { sum += Math.floor(2019/denominator); } return sum; }); console.log(exponents); // [2011, 1005, 502, 334, 200, 166, 124, 111, 90, 71, ...] ~~~ Die Primfaktoren von 2019! sind also: $$2019! = 2^{2011} \cdot 3^{1005} \cdot 5^{502} \cdot 7^{334} \cdot 11^{200} \cdot 13^{166} \cdot 17^{124} \cdot 19^{111} \cdot 23^{90} \cdot 29^{71} \cdot \dotsc \cdot 2017$$   Sei *s* die Zahl, die übrig bleibt, wenn man bei 2019! rechts die 502 Nullen abtrennt. Wir suchen nun die letzte Stelle von *s*. $$\begin{align} s = \frac{2019!}{10^{502}} = 2^{2011-502} &\cdot 3^{1005} \cdot 7^{334} \cdot 11^{200} \cdot 13^{166} \cdot 17^{124} \cdot 19^{111} \cdot 23^{90} \cdot 29^{71} \cdot \dotsc \cdot 2017\\ \equiv 2^{1509} &\cdot 3^{1005} \cdot 7^{334} \cdot \ \ 1^{200} \cdot \ \ 3^{166} \cdot \ \ 7^{124} \cdot \ \ 9^{111} \cdot \ \ 3^{90} \cdot \ \ 9^{71} \cdot \dotsc \cdot \ \ \ \ \ \ 7 \mod 10\\ \equiv 2^{1509} &\cdot 3^{1005 + 166 + 90 + \dotsc} \cdot 7^{334 + 124 + \dotsc} \cdot 9^{111 + 71 + \dotsc} \mod 10 \end{align}$$ Die auf 1 endenden Primfaktoren haben keinen Einfluss auf die letzte Stelle von *s*. Das Zusammenzählen der Exponenten der auf 3, 7 bzw. 9 endenden Primfaktoren kann das Script wieder besser: ~~~JavaScript let exp3 = 0, exp7 = 0, exp9 = 0; primes.forEach((prime, index) => { const primeString = prime.toString(); if (primeString.endsWith('3')) exp3 += exponents[index]; else if (primeString.endsWith('7')) exp7 += exponents[index]; else if (primeString.endsWith('9')) exp9 += exponents[index]; }); console.log(exp3, exp7, exp9); // 1618 835 467 ~~~ $$\begin{align} s &\equiv 2^{1509} \cdot 3^{1618} \cdot 7^{835} \cdot 9^{467}\mod 10\\ \end{align}$$ Die 2er-Potenzen enden auf 2, 4, 8, 6, 2, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 3er-Potenzen enden auf 3, 9, 7, 1, 3, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 7er-Potenzen enden auf 7, 9, 3, 1, 7, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 9er-Potenzen enden auf 9, 1, 9, 1, 9, … – ein Zyklus der Länge 2. $$\begin{align} s &\equiv 2^{1509} \cdot 3^{1618} \cdot 7^{835} \cdot 9^{467}\mod 10\\ &\equiv 2^{1\ \ \ \ \ \ } \cdot 3^{2\ \ \ \ \ \ } \cdot 7^{3\ \ \ \ } \cdot 9^{1\ \ \ \ }\mod 10\\ &\equiv 2 \ \ \ \ \ \ \cdot 9 \ \ \ \ \ \ \cdot 3 \ \ \ \ \ \cdot 9 \ \ \ \ \mod 10\\ &\equiv 6 \mod 10 \end{align}$$ Die letzte Stelle von 2019! vor den Nullen ist also die **6**. Und jetzt bin ich auf Rolfs Lösung gespannt, die sicher eleganter ist und mit viel weniger Rechnerei auskommt. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann

@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen? Ich hab ewig nach einer klugen Lösung gesucht – mir ist nur keine eingefallen. Also mit brutaler Kraft die Exponenten aller Primfaktoren von 2019! ermittelt – genauso wie für die 5en: > $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$ > > Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei *k* = 4 aufhören: > > $$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{2^k}\rfloor = \sum_{k=1}^{10} \lfloor \tfrac{2019}{2^k}\rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{2} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{4} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{8} \rfloor + \cdots + \lfloor \tfrac{2019}{1024} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{3^k}\rfloor = \sum_{k=1}^6 \lfloor \tfrac{2019}{3^k}\rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{3} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{9} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{27} \rfloor + \cdots + \lfloor \tfrac{2019}{729} \rfloor$$ Die Exponenten auszurechnen kann ein Script besser ([Codepen](https://codepen.io/pen?editors=0011)): ~~~JavaScript const primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ..., 2017]; const exponents = primes.map(prime => { let sum = 0; for (let denominator = prime; denominator <= 2019; denominator *= prime) { sum += Math.floor(2019/denominator); } return sum; }); console.log(exponents); // [2011, 1005, 502, 334, 200, 166, 124, 111, 90, 71, ...] ~~~ Die Primfaktoren von 2019! sind also: $$2019! = 2^{2011} \cdot 3^{1005} \cdot 5^{502} \cdot 7^{334} \cdot 11^{200} \cdot 13^{166} \cdot 17^{124} \cdot 19^{111} \cdot 23^{90} \cdot 29^{71} \cdot \dotsc \cdot 2017$$   Sei *s* die Zahl, die übrig bleibt, wenn man bei 2019! rechts die 502 Nullen abtrennt. Wir suchen nun die letzte Stelle von *s*. $$\begin{align} s = \frac{2019!}{10^{502}} = 2^{2011-502} &\cdot 3^{1005} \cdot 7^{334} \cdot 11^{200} \cdot 13^{166} \cdot 17^{124} \cdot 19^{111} \cdot 23^{90} \cdot 29^{71} \cdot \dotsc \cdot 2017\\ \equiv 2^{1509} &\cdot 3^{1005} \cdot 7^{334} \cdot \ \ 1^{200} \cdot \ \ 3^{166} \cdot \ \ 7^{124} \cdot \ \ 9^{111} \cdot \ \ 3^{90} \cdot \ \ 9^{71} \cdot \dotsc \cdot \ \ \ \ \ \ 7 \mod 10\\ \equiv 2^{1509} &\cdot 3^{1005 + 166 + 90 + \dotsc} \cdot 7^{334 + 124 + \dotsc} \cdot 9^{111 + 71 + \dotsc} \mod 10 \end{align}$$ Die auf 1 endenden Primfaktoren haben keinen Einfluss auf die letzte Stelle von *s*. Das Zusammenzählen der Exponenten der auf 3, 7 bzw. 9 endenden Primfaktoren kann das Script wieder besser: ~~~JavaScript let exp3 = 0, exp7 = 0, exp9 = 0; primes.forEach((prime, index) => { const primeString = prime.toString(); if (primeString.endsWith('3')) exp3 += exponents[index]; else if (primeString.endsWith('7')) exp7 += exponents[index]; else if (primeString.endsWith('9')) exp9 += exponents[index]; }); console.log(exp3, exp7, exp9); // 1618 835 467 ~~~ $$\begin{align} s &\equiv 2^{1509} \cdot 3^{1618} \cdot 7^{835} \cdot 9^{467}\mod 10\\ \end{align}$$ Die 2er-Potenzen enden auf 2, 4, 8, 6, 2, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 3er-Potenzen enden auf 3, 9, 7, 1, 3, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 7er-Potenzen enden auf 7, 9, 3, 1, 7, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 9er-Potenzen enden auf 9, 1, 9, 1, 9, … – ein Zyklus der Länge 2. $$\begin{align} s &\equiv 2^{1509} \cdot 3^{1618} \cdot 7^{835} \cdot 9^{467}\mod 10\\ &\equiv 2^{1\ \ \ \ \ \ } \cdot 3^{2\ \ \ \ \ \ } \cdot 7^{3\ \ \ \ } \cdot 9^{1\ \ \ \ }\mod 10\\ &\equiv 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 9 \equiv 6 \mod 10 \end{align}$$ Die letzte Stelle von 2019! vor den Nullen ist also die **6**. Und jetzt bin ich auf Rolfs Lösung gespannt, die sicher eleganter ist und mit viel weniger Rechnerei auskommt. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann

@@Gunnar Bittersmann > **Zusatzaufgabe:** Welche Ziffer steht als nächstes vor den Nullen? Ich hab ewig nach einer klugen Lösung gesucht – mir ist nur keine eingefallen. Also mit brutaler Kraft die Exponenten aller Primfaktoren von 2019! ermittelt – genauso wie für die 5en: > $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{5^k}\rfloor$$ > > Wegen 5⁵ = 3125 > 2019 kann man bei *k* = 4 aufhören: > > $$\sum_{k=1}^4 \lfloor \tfrac{2019}{5^k} \rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{5} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{25} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{125} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{625} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{2^k}\rfloor = \sum_{k=1}^{10} \lfloor \tfrac{2019}{2^k}\rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{2} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{4} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{8} \rfloor + \cdots + \lfloor \tfrac{2019}{1024} \rfloor$$ $$\sum_{k=1}^\infty \lfloor \tfrac{2019}{3^k}\rfloor = \sum_{k=1}^6 \lfloor \tfrac{2019}{3^k}\rfloor = \lfloor \tfrac{2019}{3} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{9} \rfloor + \lfloor \tfrac{2019}{27} \rfloor + \cdots + \lfloor \tfrac{2019}{729} \rfloor$$ Die Exponenten auszurechnen kann ein Script besser: ~~~JavaScript const primes = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ..., 2017]; const exponents = primes.map(prime => { let sum = 0; for (let denominator = prime; denominator <= 2019; denominator *= prime) { sum += Math.floor(2019/denominator); } return sum; }); console.log(exponents); // [2011, 1005, 502, 334, 200, 166, 124, 111, 90, 71, ...] ~~~ Die Primfaktoren von 2019! sind also: $$2019! = 2^{2011} \cdot 3^{1005} \cdot 5^{502} \cdot 7^{334} \cdot 11^{200} \cdot 13^{166} \cdot 17^{124} \cdot 19^{111} \cdot 23^{90} \cdot 29^{71} \cdot \dotsc \cdot 2017$$   Sei *s* die Zahl, die übrig bleibt, wenn man bei 2019! rechts die 502 Nullen abtrennt. Wir suchen nun die letzte Stelle von *s*. $$\begin{align} s = \frac{2019!}{10^{502}} = 2^{2011-502} &\cdot 3^{1005} \cdot 7^{334} \cdot 11^{200} \cdot 13^{166} \cdot 17^{124} \cdot 19^{111} \cdot 23^{90} \cdot 29^{71} \cdot \dotsc \cdot 2017\\ \equiv 2^{1509} &\cdot 3^{1005} \cdot 7^{334} \cdot \ \ 1^{200} \cdot \ \ 3^{166} \cdot \ \ 7^{124} \cdot \ \ 9^{111} \cdot \ \ 3^{90} \cdot \ \ 9^{71} \cdot \dotsc \cdot \ \ \ \ \ \ 7 \mod 10\\ \equiv 2^{1509} &\cdot 3^{1005 + 166 + 90 + \dotsc} \cdot 7^{334 + 124 + \dotsc} \cdot 9^{111 + 71 + \dotsc} \mod 10 \end{align}$$ Die auf 1 endenden Primfaktoren haben keinen Einfluss auf die letzte Stelle von *s*. Das Zusammenzählen der Exponenten der auf 3, 7 bzw. 9 endenden Primfaktoren kann das Script wieder besser: ~~~JavaScript let exp3 = 0, exp7 = 0, exp9 = 0; primes.forEach((prime, index) => { const primeString = prime.toString(); if (primeString.endsWith('3')) exp3 += exponents[index]; else if (primeString.endsWith('7')) exp7 += exponents[index]; else if (primeString.endsWith('9')) exp9 += exponents[index]; }); console.log(exp3, exp7, exp9); // 1618 835 467 ~~~ $$\begin{align} s &\equiv 2^{1509} \cdot 3^{1618} \cdot 7^{835} \cdot 9^{467}\mod 10\\ \end{align}$$ Die 2er-Potenzen enden auf 2, 4, 8, 6, 2, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 3er-Potenzen enden auf 3, 9, 7, 1, 3, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 7er-Potenzen enden auf 7, 9, 3, 1, 7, … – ein Zyklus der Länge 4. Die 9er-Potenzen enden auf 9, 1, 9, 1, 9, … – ein Zyklus der Länge 2. $$\begin{align} s &\equiv 2^{1509} \cdot 3^{1618} \cdot 7^{835} \cdot 9^{467}\mod 10\\ &\equiv 2^{1\ \ \ \ \ \ } \cdot 3^{2\ \ \ \ \ \ } \cdot 7^{3\ \ \ \ } \cdot 9^{1\ \ \ \ }\mod 10\\ &\equiv 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot 9 \equiv 6 \mod 10 \end{align}$$ Die letzte Stelle von 2019! vor den Nullen ist also die **6**. Und jetzt bin ich auf Rolfs Lösung gespannt, die sicher eleganter ist und mit viel weniger Rechnerei auskommt. LLAP 🖖 -- *„Wer durch Wissen und Erfahrung der Klügere ist, der sollte nicht nachgeben. Und nicht aufgeben.“* —Kurt Weidemann