Mathe im November

[Rolf B]

Diesmal eine Kopfnuss von mir.

Das Bild zeigt den Querschnitt durch folgendes 3D Szenario: Es gibt einen Kegelstumpf. Durchmesser unten 250, oben 300. Darin soll seitlich ein Zylinder stecken, Durchmesser 200. Die Rotationsachsen von Kegelstumpf und Zylinder schneiden sich unter einem Winkel von 60 Grad (nicht eingezeichnet, sorry).

Der Zylinder schaut soweit aus dem Kegelstumpf heraus, dass die Strecke SL1c die Länge 80 hat. Der untere Punkt, an dem der Zylinder herausschaut, soll zum Fuß des Kegelstumpfs einen Abstand von SL1b=100 haben (entlang der Mantellinie). Oben sollen es SL1a=60 sein.

Bestimme die dafür erforderliche Höhe des Kegelstumpfs (H), den Abstand des Achsenschnittpunkts zur oberen Deckfläche des Kegelstumpfs (x2) und zur Deckfläche des Zylinders (x4) und die Länge der Mantellinie (SL1a+SL1b+x0)

Ich habe diese Aufgabe mit der Frage bekommen: Kann man das rechnen? Ich weiß es noch nicht, ich fange jetzt erst selber damit an. Es ist also denkbar, dass man das nur durch Probieren lösen kann (so wie ich das Bild in Geogebra durch Probieren auf die richtige Höhe gebracht habe).

Viel Spaß beim Tüfteln 😀

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

heißt das, man kann sich bei der Rechnung auf Trapez und Rechteck beschränken?

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

ja. Das hätte ich sicherlich gleich so formulieren können, aber Dinge verständlich zu vereinfachen ist eine komplizierte Sache, dafür braucht's Fachleute. Lehrer zum Beispiel :)

Rolf

[Rolf B]

Ein paar Hinweise:

(1) H meint die Höhe des Kegelstumpfs, nicht nur der lilafarbene Teil. vom Boden bis zum Endpunkt von x4. Die Zeichnung lässt nur erahnen, dass x2 einen lila Schimmer um sich hat. Ich hätte x2 dünner zeichnen müssen. Ihr müsst also keine neue Variable für die Höhe einführen.

(2) Meine eigene Lösung endet mit einem Polynom 4. Grades für H, dessen Nullstelle(n) ich numerisch bestimmen würde. Es gibt zwar Lösungsformeln für quartische Gleichungen, aber ich bin zu doof, um die zu kapieren. Unter anderem wegen meiner Denkblockade, die automatisch beim Wort „komplexe Zahl“ einsetzt.

Eine Lösung, die ohne numerische Approximation auskommt (bzw. ohne Lösungsformeln für quartische Gleichungen) wäre willkommen. Dabei sollte man beachten, dass die Zahlenwerte im Bild Beispiele sind. Der Plan des Aufgabenstellers war, auch andere Formate rechnen zu können. Als Fixpunkte kann man den 60° Winkel und die Lage des Kegelstumpfs betrachten (sprich: unten kleiner als oben). Man kann auch davon ausgehen, dass der Zylinder nicht über die Mantelfläche des Stumpfs hinausragt.

Rolf

[Matthias Apsel]

Hallo Rolf B,

Als Fixpunkte kann man den 60° Winkel und die Lage des Kegelstumpfs betrachten (sprich: unten kleiner als oben).

Ein paar Vorgaben mehr müssten es wohl schon sein. Ein beliebiger Zylinder der einen beliebigen Kegelstumpf unter einem Winkel von 60° in beliebiger Höhe durchdringt scheint mir doch arg beliebig zu sein. 😀

Bis demnächst
Matthias

[Rolf B]

Hallo Matthias,

ja. Ich habe aber auch selbst keine Rahmenbedingungen. Darum, zur Vereinfachung von Fallunterscheidungen:

Man kann auch davon ausgehen, dass der Zylinder nicht über die Mantelfläche des Stumpfs hinausragt.

D.h. es sollte davon ausgegangen werden, dass die Skizze nicht "entartet" und die Lage der Punkte zueinander so bleibt wie sie ist. Aber das geht schon weit über die Aufgabe hinaus.

Rolf