Mathematik zum Wochenende – Lösung

[ottogal]

Hallo in die Runde,

hier noch meine Lösung. Ich habe sie noch etwas gestrafft und komme ohne die Benennung von Punkten aus; es sollte trotzdem nachvollziehbar sein.

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In dieser Zeichnung erkennt man: In beiden Fällen besteht der nicht-blaue Flächenanteil des Viertelkreises aus zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken (grün) und zwei kongruenten halben Kreissegmenten (gelb). Letztere sind aus Symmetriegründen kongruent.
Die grünen Dreiecke sind alle zueinander kongruent: Sie sind jeweils halbe gleichseitige Dreiecke mit dem Kreisradius $$r$$ als deren Seitenlänge, haben also die Kathetenlängen $$\frac{1}{2}r$$ und $$\frac{\sqrt 3}{2}r$$.

Folglich ist der Flächeninhalt des nicht-blauen Anteils in beiden Fällen gleich groß, daher haben auch die blauen Anteile gleichen Flächeninhalt. Im rechten Teilbild ist der blaue Sektor ein Drittel des Viertelkreises; also ist die gesuchte Fläche $$\frac{\pi}{12}r^2$$.

Der Umfang des gegebenen blauen Flächenstücks setzt sich aus dem Bogen $$\frac{\pi}{6}r$$, den horizontalen Strecken $$\frac{1}{2}r$$ (oben) und $$\frac{\sqrt 3}{2}r$$ (unten) sowie der vertikalen Strecke $$\frac{\sqrt 3}{2}r - \frac{1}{2}r$$ zusammen, ergibt sich also zu $$(\frac{\pi}{6} + \sqrt 3)r$$.

Für den konkreten Radius $$10\ \mathrm{cm}$$ erhält man
für die Fläche $$\frac{\pi}{12} \cdot 100\ \mathrm{cm^2} = 26{,}18\ \mathrm{cm^2}$$,
für den Umfang $$(\frac{\pi}{6} + \sqrt 3) \cdot 10\ \mathrm{cm} = 22{,}56\ \mathrm{cm}$$.

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Viele Grüße
ottogal