Mathematik zum Wochenende

[Gunnar Bittersmann]

Beliebiges Dreieck ABC mit beliebig gewählten Punkten A′ auf BC, B′ auf CA, C′ auf AB (jeweils im Inneren der Seite).

Zu zeigen: die Kreise durch A, B′ und C′; durch A′, B und C′ sowie durch A′, B′ und C schneiden einander in einem Punkt.

LLAP 🖖

[Gunnar Bittersmann]

@@Gunnar Bittersmann

Beliebiges Dreieck ABC mit beliebig gewählten Punkten A′ auf BC, B′ auf CA, C′ auf AB (jeweils im Inneren der Seite).

Zu zeigen: die Kreise durch A, B′ und C′; durch A′, B und C′ sowie durch A′, B′ und C schneiden einander in einem Punkt.

Mir ist dazu nur eingefallen, die Koordinaten der Punkte A′, B′, C′ zu parametrisieren: $$\overrightarrow{AC'} = k\ \overrightarrow{AB}$$ mit 0 < k < 1. Dann kann man sich die Mittelpunkte und Radien der Kreise berechnen, daraus dann deren Schnittpunkte. Vermutlich eine wüste Rechnerei, und vermutlich hätte ich mich dabei verrechnet. Hab den Weg also gar nicht weiter verfolgt. Das muss einfacher gehen.

@ottogal hat’s gefunden:

Bekanntlich gilt:
In einem Sehnenviereck ergänzen sich jeweils gegenüberliegende Winkel zu 180°.

Wir brauchen auch eine Art Umkehrung davon:

Satz:
Sei k der Umkreis eines Dreiecks ABC und beta = <CBA.
D sei ein vierter Punkt so, dass ABCD ein konvexes Viereck ist; <ADC heiße delta.
Dann gilt:
Wenn delta = 180° - beta ist, liegt D auf k.

Den Beweis hierfür setze ich auch als bekannt voraus.

Meine Lösung
geht damit so:

Die Innenwinkel von Dreieck ABC seien entsprechend alpha, beta, gamma.

M sei der von C' verschiedene Schnittpunkt der beiden Kreise durch A bzw. B.
Zu zeigen ist: M liegt auf dem dritten Kreis durch C.

Die Vierecke AC'MB' und BA'MC' sind jeweils Sehnenvierecke.
Daher betragen die Winkel <B'MC' = 180°- alpha und <C'MA' = 180° - beta. Es folgt:
<A'MB' = 36o° - (<B'MC' + <C'MA') = alpha + beta = 180° - gamma.

Nach dem obigen Satz liegt M also auf dem Umkreis von Dreieck B'A'C'.
Somit gehen alle drei Kreise durch M.

Das Ding nennt sich Satz von Miquel und auch in der Wikipedia ist der Beweis zu finden.

LLAP 🖖