@@Gunnar Bittersmann Die Aufgabe kam [von Catriona Agg](https://twitter.com/Cshearer41/status/1324733750912102400). 1. Meine erste Eingebung war diese: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Wegen *MP* ⊥ *BC* (Radius und Tangente) ist △*ABM* ≅ △*PBM* (nach SSW) und damit *PB* = *AB* = 1. △*MPC* ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich *r* = *MP* = *CP* = *BC* − *PB* = √2 − 1. Das meinte auch [Tabellenkalk](https://forum.selfhtml.org/self/2020/nov/07/mathematik-zum-wochenende/1777756#m1777756). Auch @ottogal (leicht abgewandelt) und @Matthias Apsel hatten diese Lösung eingesandt. --- 2. Dann hatte ich gespiegelt: [](/images/99d0a1c4-2289-11eb-8692-b42e9947ef30.jpg) *MP* ⊥ *BC* wie gehabt. *MPCQ* ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist *MC* = *r* √2. (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.) 1 = *AC* = *AM* + *MC* = *r* + *r* √2 *r* = 1/(1 + √2) = √2 − 1 --- 3. Dann hab ich in der [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Formeln) diese Formel gefunden: Inkreisradius *r* = 2*A* / *u* [](/images/16dc363a-2292-11eb-804f-b42e9947ef30.jpg) *r* = 2*A* / *u* *r* = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1 --- 4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte: [](/images/cc7b3b7a-2293-11eb-8e2f-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Geometrie)) besagt über die Entfernung *d* der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: *d*² = *R*(*R* − 2*r*) Mit *d* = *r* und *R* = 1 erhält man *r*² = 1 − 2*r*; *r* = √2 − 1 --- 5. Und noch eins: [](/images/e7919674-22b2-11eb-8e38-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Carnot](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Carnot_(Umkreis,_Inkreis)) besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist. ½√2 + ½√2 + 0 = *R* + *r*, das heißt √2 = 1 + *r*; *r* = √2 − 1 --- 6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡*ABM* = 22.5°. tan 22.5° = *AM* / *AB* = *r* / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1 Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2*ϕ* = 2 tan *ϕ* / (1 − tan²*ϕ*) herleiten: 1 = 2*r* / (1 − *r*²) hat als Lösung *r* = √2 − 1 --- 7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Die Fläche von △*ABC* beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½*r* und einem Dreieck der Fläche ½*r*² (siehe 1.) *r* + ½*r*² = ½; *r* = √2 − 1 --- > Die schönste Lösung gewinnt. Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen? 😷 LLAP -- Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“

@@Gunnar Bittersmann Die Aufgabe kam [von Catriona Agg](https://twitter.com/Cshearer41/status/1324733750912102400). 1. Meine erste Eingebung war diese: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Wegen *MP* ⊥ *BC* (Radius und Tangente) ist △*ABM* ≅ △*PBM* (nach SSW) und damit *PB* = *AB* = 1. △*MPC* ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich *r* = *MP* = *CP* = *BC* − *PB* = √2 − 1. Das meinte auch [Tabellenkalk](https://forum.selfhtml.org/self/2020/nov/07/mathematik-zum-wochenende/1777756#m1777756). Auch @ottogal (leicht abgewandelt) und @Matthias Apsel hatten diese Lösung eingesandt. --- 2. Dann hatte ich gespiegelt: [](/images/99d0a1c4-2289-11eb-8692-b42e9947ef30.jpg) *MP* ⊥ *BC* wie gehabt. *MPCQ* ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist *MC* = *r* √2. (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.) 1 = *AC* = *AM* + *MC* = *r* + *r* √2 *r* = 1/(1 + √2) = √2 − 1 --- 3. Dann hab ich in der [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Formeln) diese Formel gefunden: Inkreisradius *r* = 2*A* / *u* [](/images/16dc363a-2292-11eb-804f-b42e9947ef30.jpg) *r* = 2*A* / *u* *r* = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1 --- 4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte: [](/images/cc7b3b7a-2293-11eb-8e2f-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Geometrie)) besagt über die Entfernung *d* der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: *d*² = *R*(*R* − 2*r*) Mit *d* = *r* und *R* = 1 erhält man *r*² = 1 − 2*r*; *r* = √2 − 1 --- 5. Und noch eins: [](/images/e7919674-22b2-11eb-8e38-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Carnot](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Carnot_(Umkreis,_Inkreis)) besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist. ½√2 + ½√2 + 0 = R + r, das heißt √2 = 1 + r; r = √2 − 1 --- 6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡*ABM* = 22.5°. tan 22.5° = *AM* / *AB* = *r* / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1 Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2*ϕ* = 2 tan *ϕ* / (1 − tan²*ϕ*) herleiten: 1 = 2*r* / (1 − r²) hat als Lösung *r* = √2 − 1 --- 7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Die Fläche von △*ABC* beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½*r* und einem Dreieck der Fläche ½*r*² (siehe 1.) *r* + ½*r*² = ½; *r* = √2 − 1 --- > Die schönste Lösung gewinnt. Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen? 😷 LLAP -- Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“

@@Gunnar Bittersmann Die Aufgabe kam [von Catriona Agg](https://twitter.com/Cshearer41/status/1324733750912102400). 1. Meine erste Eingebung war diese: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Wegen *MP* ⊥ *BC* (Radius und Tangente) ist △*ABM* ≅ △*PBM* (nach SSW) und damit *PB* = *AB* = 1. △*MPC* ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich *r* = *MP* = *CP* = *BC* − *PB* = √2 − 1. Das meinte auch [Tabellenkalk](https://forum.selfhtml.org/self/2020/nov/07/mathematik-zum-wochenende/1777756#m1777756). Auch @ottogal hatte (leicht abgewandelt) diese Lösung eingesandt. --- 2. Dann hatte ich gespiegelt: [](/images/99d0a1c4-2289-11eb-8692-b42e9947ef30.jpg) *MP* ⊥ *BC* wie gehabt. *MPCQ* ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist *MC* = *r* √2. (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.) 1 = *AC* = *AM* + *MC* = *r* + *r* √2 *r* = 1/(1 + √2) = √2 − 1 --- 3. Dann hab ich in der [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Formeln) diese Formel gefunden: Inkreisradius *r* = 2*A* / *u* [](/images/16dc363a-2292-11eb-804f-b42e9947ef30.jpg) *r* = 2*A* / *u* *r* = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1 --- 4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte: [](/images/cc7b3b7a-2293-11eb-8e2f-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Geometrie)) besagt über die Entfernung *d* der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: *d*² = *R*(*R* − 2*r*) Mit *d* = *r* und *R* = 1 erhält man *r*² = 1 − 2*r*; *r* = √2 − 1 --- 5. Und noch eins: [](/images/e7919674-22b2-11eb-8e38-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Carnot](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Carnot_(Umkreis,_Inkreis)) besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist. ½√2 + ½√2 + 0 = R + r, das heißt √2 = 1 + r; r = √2 − 1 --- 6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡*ABM* = 22.5°. tan 22.5° = *AM* / *AB* = *r* / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1 Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2*ϕ* = 2 tan *ϕ* / (1 − tan²*ϕ*) herleiten: 1 = 2*r* / (1 − r²) hat als Lösung *r* = √2 − 1 --- 7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Die Fläche von △*ABC* beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½*r* und einem Dreieck der Fläche ½*r*² (siehe 1.) *r* + ½*r*² = ½; *r* = √2 − 1 --- > Die schönste Lösung gewinnt. Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen? 😷 LLAP -- Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“

@@Gunnar Bittersmann Die Aufgabe kam [von Catriona Agg](https://twitter.com/Cshearer41/status/1324733750912102400). 1. Meine erste Eingebung war diese: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Wegen *MP* ⊥ *BC* (Radius und Tangente) ist △*ABM* ≅ △*PBM* (nach SSW) und damit *PB* = *AB* = 1. △*MPC* ist gleichschenklig-rechtwinklig (Winkel 45° und 90°). Folglich *r* = *MP* = *CP* = *BC* − *PB* = √2 − 1. Das meinte auch [Tabellenkalk](https://forum.selfhtml.org/self/2020/nov/07/mathematik-zum-wochenende/1777756#m1777756). Auch @ottogal hatte (leicht abgewandelt) diese Lösung eingesandt. --- 2. Dann hatte ich gespiegelt: [](/images/99d0a1c4-2289-11eb-8692-b42e9947ef30.jpg) *MP* ⊥ *BC* wie gehabt. *MPCQ* ist ein Rechteck, wegen der Symmetrie ein Quadrat. Damit ist *MC* = *r* √2. (Die Spiegelung braucht man gar nicht; dasselbe ergibt sich auch aus dem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck.) 1 = *AC* = *AM* + *MC* = *r* + *r* √2 *r* = 1/(1 + √2) = √2 − 1 --- 3. Dann hab ich in der [Wikipedia](https://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck#Formeln) diese Formel gefunden: Inkreisradius *r* = 2*A* / *u* [](/images/16dc363a-2292-11eb-804f-b42e9947ef30.jpg) *r* = 2*A* / *u* *r* = 2 / (2√2 + 2) = √2 − 1 --- 4. @Matthias Apsel holte Fundstücke hervor, die ich noch gar nicht kannte: [](/images/cc7b3b7a-2293-11eb-8e2f-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Euler](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler_(Geometrie)) besagt über die Entfernung *d* der Mittelpunkte von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks: *d*² = *R*(*R* − 2*r*) Mit *d* = *r* und *R* = 1 erhält man *r*² = 1 − 2*r*; *r* = √2 − 1 --- 5. Und noch eins: [](/images/e7919674-22b2-11eb-8e38-b42e9947ef30.jpg) Der [Satz von Carnot](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Carnot_(Umkreis,_Inkreis)) besagt, dass die Summe der vorzeichenbehafteten Abstände des Umkreismittelpunktes von den Dreiecksseiten gleich der Summe von Inkreisradius und Umkreisradius ist. ½√2 + ½√2 + 0 = R + r, das heißt √2 = 1 + r; r = √2 − 1 --- 6. Und dann holte er noch Winkelfunktionen hervor: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, d.h. ∡*ABM* = 22.5°. tan 22.5° = *AM* / *AB* = *r* / 1. In irgendeiner Sammlung findet man dann auch tan 22.5° = √2 − 1 Das würde ich aber nicht zur Allgemeinbildung zählen. Man kann das aber aus tan 2*ϕ* = 2 tan *ϕ* / (1 − tan²*ϕ*) herleiten: 1 = 2*r* / (1 − r²) hat als Lösung *r* = √2 − 1 --- 7. Die letzte Lösung hab ich (leicht abgewandelt) von Twitter. Schauen wir nochmal auf die Skizze: [](/images/41c54210-2288-11eb-b3dd-b42e9947ef30.jpg) Die Fläche von △*ABC* beträgt ½. Sie setzt sich zusammen aus zwei Dreiecken der Fläche ½*r* und einem Dreieck der Fläche ½*r*² (siehe 1.) *r* + ½*r*² = ½; *r* = √2 − 1 > Die schönste Lösung gewinnt. Schönheit liegt im Auge des Betrachters. Wollen wir abstimmen? 😷 LLAP -- Wenn der Faschismus wiederkehrt, wird er nicht sagen: „Hallo, ich bin der Faschismus.“ Er wird sagen: „Hört auf zu zählen! Ich habe gewonnen!“****fetter Text